Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfmul-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngfmul-rN 34922
Description: Ring multiplication operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
erng.m-r · = (.r𝐷)
Assertion
Ref Expression
erngfmul-rN ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → · = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐾   𝑊,𝑠,𝑡   𝐸,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑠)   · (𝑡,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem erngfmul-rN
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngset.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngset.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erngset.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4erngset-rN 34917 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐷 = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))⟩})
65fveq2d 6092 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (.r‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))⟩}))
7 erng.m-r . 2 · = (.r𝐷)
8 fvex 6098 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
93, 8eqeltri 2683 . . . 4 𝐸 ∈ V
109, 9mpt2ex 7113 . . 3 (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)) ∈ V
11 eqid 2609 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))⟩}
1211rngmulr 15772 . . 3 ((𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)) ∈ V → (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)) = (.r‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))⟩}))
1310, 12ax-mp 5 . 2 (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)) = (.r‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠))⟩})
146, 7, 133eqtr4g 2668 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → · = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑡𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  {ctp 4128  cop 4130  cmpt 4637  ccom 5032  cfv 5790  cmpt2 6529  ndxcnx 15638  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  LHypclh 34091  LTrncltrn 34208  TEndoctendo 34861  EDRingRcedring-rN 34863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-edring-rN 34865
This theorem is referenced by:  erngmul-rN  34923  erngdvlem3-rN  35107  erngdvlem4-rN  35108
  Copyright terms: Public domain W3C validator