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Theorem estrres 16980
Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
estrres.c (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b (𝜑𝐵𝑉)
estrres.h (𝜑𝐻𝑋)
estrres.x (𝜑·𝑌)
estrres.a (𝜑𝐴𝑈)
estrres.g (𝜑𝐺𝑊)
estrres.u (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
estrres (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres
StepHypRef Expression
1 ovex 6841 . . 3 (𝐶s 𝐴) ∈ V
2 estrres.g . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
3 setsval 16090 . . 3 (((𝐶s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺𝑊) → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
41, 2, 3sylancr 698 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5 eqid 2760 . . . . . 6 (𝐶s 𝐴) = (𝐶s 𝐴)
6 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8 estrres.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9 tpex 7122 . . . . . . 7 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
108, 9syl6eqel 2847 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
11 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (Base‘ndx) ∈ V
12 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (Hom ‘ndx) ∈ V
13 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (comp‘ndx) ∈ V
1411, 12, 133pm3.2i 1424 . . . . . . . . 9 ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16 estrres.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
17 estrres.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝑋)
18 estrres.x . . . . . . . 8 (𝜑·𝑌)
19 slotsbhcdif 16282 . . . . . . . . 9 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21 funtpg 6103 . . . . . . . 8 ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵𝑉𝐻𝑋·𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
2215, 16, 17, 18, 20, 21syl131anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
238funeqd 6071 . . . . . . 7 (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
2422, 23mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐶)
258, 16, 17, 18estrreslem2 16979 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26 estrres.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
27 estrres.u . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
288, 16estrreslem1 16978 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
2927, 28sseqtrd 3782 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
305, 6, 7, 10, 24, 25, 26, 29ressval3d 16139 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
3130reseq1d 5550 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
3231uneq1d 3909 . . 3 (𝜑 → (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
33 setsval 16090 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴𝑈) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
3410, 26, 33syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
3534reseq1d 5550 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
3612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
3713a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38 elex 3352 . . . . . . . . . . 11 (𝐻𝑋𝐻 ∈ V)
3917, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ V)
40 elex 3352 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑌· ∈ V)
4118, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑· ∈ V)
42 simp1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
4342necomd 2987 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
4419, 43mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45 simp2 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4645necomd 2987 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
4719, 46mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
488, 36, 37, 39, 41, 44, 47tpres 6630 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
4948uneq1d 3909 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
50 df-tp 4326 . . . . . . . 8 {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5149, 50syl6eqr 2812 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
5316, 27ssexd 4957 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
54 simp3 1133 . . . . . . . . 9 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5554necomd 2987 . . . . . . . 8 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5619, 55mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5719, 42mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5851, 37, 52, 41, 53, 56, 57tpres 6630 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5935, 58eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
6059uneq1d 3909 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
61 df-tp 4326 . . . . . 6 {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
62 tprot 4428 . . . . . 6 {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
6361, 62eqtr3i 2784 . . . . 5 ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
6560, 64eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
6632, 65eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
674, 66eqtrd 2794 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325  cop 4327  cres 5268  Fun wfun 6043  cfv 6049  (class class class)co 6813  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059  s cress 16060  Hom chom 16154  compcco 16155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-hom 16168  df-cco 16169
This theorem is referenced by:  dfrngc2  42482  dfringc2  42528  rngcresringcat  42540
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