Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum2d 30464
Description: Write a double extended sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. This can be seen as "slicing" the relation 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0 𝑘𝐹
esum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2 (𝜑𝐴𝑉)
esum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
esum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esum2d (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2d
Dummy variables 𝑡 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12167 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
3 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑐𝜑
4 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑐𝑠
5 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . 11 𝑐(𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
65nfrn 5523 . . . . . . . . . 10 𝑐ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
74, 6nfel 2915 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
83, 7nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑐(𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
9 iccssxr 12449 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 29994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 19990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
1413elin2d 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ Fin)
15 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝜑)
1613elin1d 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
18 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 ∈ V
1918elpw 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2017, 19sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧𝑐)
2220, 21sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
23 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝜑
24 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗𝑧
25 nfiu1 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2624, 25nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2723, 26nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
28 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
29 esum2d.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝐹
30 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(0[,]+∞)
3129, 30nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
32 esum2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
34 simp-5l 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
35 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗𝐴)
36 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘𝐵)
37 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3834, 35, 36, 37syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3933, 38eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
40 elsnxp 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
4140biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4241adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4328, 31, 39, 42r19.29af2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
44 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
45 eliun 4676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
4644, 45sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
4727, 43, 46r19.29af 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
4815, 22, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
4948ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑐 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
5010, 12, 14, 49gsummptcl 18566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
519, 50sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
5251ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
53 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) = (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
5453rnmptss 6555 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ* → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
5655ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
57 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
5856, 57sseldd 3745 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
59 esum2d.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
60 snex 5057 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑗} ∈ V
61 esum2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
62 xpexg 7125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6360, 61, 62sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6463ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
65 iunexg 7308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6659, 64, 65syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6747ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
68 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
6968esumcl 30401 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
7066, 67, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
719, 70sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
7271ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
73 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
74 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
75 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑐
7674, 75, 14, 48esumgsum 30416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
7766adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7847adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
7916, 19sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
8074, 77, 78, 79esummono 30425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8176, 80eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8281adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8382adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8473, 83eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
85 xrlenlt 10295 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) → (𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
8685biimpa 502 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
8758, 72, 84, 86syl21anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
88 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
89 ovex 6841 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V
9053, 89elrnmpti 5531 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9188, 90sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
928, 87, 91r19.29af 3214 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
9392ralrimiva 3104 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
94 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑐((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
95 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑐 𝑠 < 𝑡
966, 95nfrex 3145 . . . . . . . . 9 𝑐𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡
9776adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9897adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9998adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
100 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
10189a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V)
10253elrnmpt1 5529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
103100, 101, 102syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
10499, 103eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → Σ*𝑧𝑐𝐹 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
105 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) ∧ 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹)
106105breq2d 4816 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) ∧ 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹) → (𝑠 < 𝑡𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹))
107 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹)
108104, 106, 107rspcedvd 3456 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
109 nfv 1992 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑠 ∈ ℝ*)
110 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑠
111 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 <
11268nfesum1 30411 . . . . . . . . . . . 12 𝑧Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹
113110, 111, 112nfbr 4851 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹
114109, 113nfan 1977 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
11566ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
116473ad2antr3 1206 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
1171163anassrs 1454 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
118 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑠 ∈ ℝ*)
119 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
120114, 115, 117, 118, 119esumlub 30431 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹)
12194, 96, 108, 120r19.29af2 3213 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
122121ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) → (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
123122ralrimiva 3104 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
12493, 123jca 555 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
125 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
126125breq1d 4814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (𝑟 < 𝑠 ↔ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
127126notbid 307 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (¬ 𝑟 < 𝑠 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
128127ralbidv 3124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
129125breq2d 4816 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (𝑠 < 𝑟𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
130129imbi1d 330 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ((𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡) ↔ (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
131130ralbidv 3124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
132128, 131anbi12d 749 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ((∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)) ↔ (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))))
13371, 132rspcedv 3453 . . . . 5 (𝜑 → ((∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)) → ∃𝑟 ∈ ℝ* (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))))
134124, 133mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ* (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
1352, 134supcl 8529 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
136 nfv 1992 . . . . 5 𝑎𝜑
137 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑎𝑠
138 nfmpt1 4899 . . . . . . 7 𝑎(𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
139138nfrn 5523 . . . . . 6 𝑎ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
140137, 139nfel 2915 . . . . 5 𝑎 𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
141136, 140nfan 1977 . . . 4 𝑎(𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
142 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
143 simpll 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝜑)
144142elin1d 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
145 elpwi 4312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝐴)
147146sselda 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝑗𝐴)
148143, 147, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝐵𝑊)
149143adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝜑)
150147adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝑗𝐴)
151 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝑘𝐵)
152149, 150, 151, 37syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153142elin2d 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
15429, 32, 142, 148, 152, 153esum2dlem 30463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
155 nfv 1992 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
156 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑎
15737anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
158157ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
159 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐵
160159esumcl 30401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16161, 158, 160syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
162143, 147, 161syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
163155, 156, 153, 162esumgsum 30416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
164154, 163eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
165 nfv 1992 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16666adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
16747adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
168 iunss1 4684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
169146, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
170165, 166, 167, 169esummono 30425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
171164, 170eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
17211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
173162ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑗𝑎 Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17410, 172, 153, 173gsummptcl 18566 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
1759, 174sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
17671adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
177 xrlenlt 10295 . . . . . . . . . 10 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
178175, 176, 177syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
179171, 178mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
180 nfv 1992 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
181 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
182180, 68, 66, 47, 181esumval 30417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
183182adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
184183breq1d 4814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ↔ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
185179, 184mtbid 313 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
186185adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
187186adantr 472 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
188 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
189188breq2d 4816 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠 ↔ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
190189notbid 307 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠 ↔ ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
191187, 190mpbird 247 . . . 4 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠)
192 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
193 ovex 6841 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V
194192, 193elrnmpti 5531 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
195194biimpi 206 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
196195adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
197141, 191, 196r19.29af 3214 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠)
1984nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 ∈ ℝ*
199 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑐 <
200 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑐*
2016, 200, 199nfsup 8522 . . . . . . . . . 10 𝑐sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )
2024, 199, 201nfbr 4851 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )
203198, 202nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑐(𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2043, 203nfan 1977 . . . . . . 7 𝑐(𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )))
205 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑐𝑢
206205, 6nfel 2915 . . . . . . 7 𝑐 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
207204, 206nfan 1977 . . . . . 6 𝑐((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
208 nfv 1992 . . . . . 6 𝑐 𝑠 < 𝑢
209207, 208nfan 1977 . . . . 5 𝑐(((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢)
210 simp-5l 829 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝜑)
211 simpr1l 1291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
2122113anassrs 1454 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
2132123anassrs 1454 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
214210, 213jca 555 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → (𝜑𝑠 ∈ ℝ*))
215 simpr1r 1293 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2162153anassrs 1454 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2172163anassrs 1454 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
218214, 217jca 555 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )))
219 simpllr 817 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < 𝑢)
220 simpr 479 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
221219, 220breqtrd 4830 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
222 simplr 809 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
223 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
224223elin1d 3945 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
225 elpwi 4312 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
226 dmss 5478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 ⊆ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
227 dmiun 5488 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵)
228226, 227syl6sseq 3792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵))
229 dmxpss 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ {𝑗}
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝐴 → dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ {𝑗})
231 snssi 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝐴 → {𝑗} ⊆ 𝐴)
232230, 231sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝐴 → dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴)
233232rgen 3060 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴
234 iunss 4713 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴)
235233, 234mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴
236228, 235syl6ss 3756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐𝐴)
23718dmex 7264 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑐 ∈ V
238237elpw 4308 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ dom 𝑐𝐴)
239236, 238sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
240224, 225, 2393syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
241223elin2d 3946 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ Fin)
242 dmfi 8409 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ Fin → dom 𝑐 ∈ Fin)
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ Fin)
244240, 243elind 3941 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
245 ovex 6841 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V
246245a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
247 mpteq1 4889 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = dom 𝑐 → (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))
248247oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑐 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
249192, 248elrnmpt1s 5528 . . . . . . . . 9 ((dom 𝑐 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
250244, 246, 249syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
251 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
252251breq2d 4816 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (𝑠 < 𝑡𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
253 simpllr 817 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
25411a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
255 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
256 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 Σg
257 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝑧𝑐𝐹)
258255, 256, 257nfov 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))
259110, 111, 258nfbr 4851 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))
260109, 259nfan 1977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
261 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
262260, 261nfan 1977 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
263 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝜑)
264224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
265264sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
266263, 265, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
267266ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑧𝑐𝐹 ∈ (0[,]+∞)))
268262, 267ralrimi 3095 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑐 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
26910, 254, 241, 268gsummptcl 18566 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
2709, 269sseldi 3742 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
271 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
272 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑐
27325nfpw 4316 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
274 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗Fin
275273, 274nfin 3963 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
276272, 275nfel 2915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
277271, 276nfan 1977 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
278 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝜑)
27979, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐𝐴)
280279sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑗𝐴)
281278, 280, 161syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
282281adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
283282adantllr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
284283ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑗 ∈ dom 𝑐 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
285277, 284ralrimi 3095 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
28610, 254, 243, 285gsummptcl 18566 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
2879, 286sseldi 3742 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
288 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
28923, 276nfan 1977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
290 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
291 xpss 5282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
292291rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
293 iunss 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V))
294292, 293mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V))
296290, 295sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 ⊆ (V × V))
29779, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ⊆ (V × V))
298 df-rel 5273 . . . . . . . . . . . . . 14 (Rel 𝑐𝑐 ⊆ (V × V))
299297, 298sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Rel 𝑐)
30029, 289, 10, 32, 299, 14, 12, 48gsummpt2d 30090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
301 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗dom 𝑐
302237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ V)
303278adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝜑)
304280adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝑗𝐴)
30579adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
306 imass1 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}))
307305, 306syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}))
30859, 61iunsnima 29737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}) = 𝐵)
309278, 280, 308syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}) = 𝐵)
310307, 309sseqtrd 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ 𝐵)
311310sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝑘𝐵)
312303, 304, 311, 37syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
313312ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → ∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
314 imaexg 7268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ V → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ V)
31518, 314ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 “ {𝑗}) ∈ V
316 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑐 “ {𝑗})
317316esumcl 30401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑐 “ {𝑗}) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
318315, 317mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
319313, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
320 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐)
321278, 280, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝐵𝑊)
322278adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝜑)
323280adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑗𝐴)
324 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
325322, 323, 324, 37syl12anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
326320, 321, 325, 310esummono 30425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐵𝐶)
327289, 301, 302, 319, 281, 326esumlef 30433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ≤ Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶)
32814, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ Fin)
329289, 301, 328, 319esumgsum 30416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶)))
33014adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑐 ∈ Fin)
331 imafi2 29798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ Fin → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ Fin)
332330, 331syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ Fin)
333320, 316, 332, 312esumgsum 30416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))
334289, 333mpteq2da 4895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶) = (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶))))
335334oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
336329, 335eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
337289, 301, 328, 281esumgsum 30416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
338327, 336, 3373brtr3d 4835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
339300, 338eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
340339adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
341340adantlr 753 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
342253, 270, 287, 288, 341xrltletrd 12185 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
343250, 252, 342rspcedvd 3456 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
344343adantllr 757 . . . . . 6 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
345218, 221, 222, 344syl21anc 1476 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
34653, 89elrnmpti 5531 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
347346biimpi 206 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
348347ad2antlr 765 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
349209, 345, 348r19.29af 3214 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
3502, 134suplub 8531 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
351350imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
352 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → (𝑠 < 𝑡𝑠 < 𝑢))
353352cbvrexv 3311 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑢)
354351, 353sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑢)
355349, 354r19.29a 3216 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
3562, 135, 197, 355eqsupd 8528 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
357 nfcv 2902 . . 3 𝑗𝐴
358 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
35923, 357, 59, 161, 358esumval 30417 . 2 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = sup(ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))), ℝ*, < ))
360356, 359, 1823eqtr4d 2804 1 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wnfc 2889  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  cop 4327   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881   Or wor 5186   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  Rel wrel 5271  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  supcsup 8511  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  [,]cicc 12371  s cress 16060   Σg cgsu 16303  *𝑠cxrs 16362  CMndccmn 18393  Σ*cesum 30398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399
This theorem is referenced by:  esumiun  30465
  Copyright terms: Public domain W3C validator