Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum2d 31252
Description: Write a double extended sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. This can be seen as "slicing" the relation 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0 𝑘𝐹
esum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2 (𝜑𝐴𝑉)
esum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
esum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esum2d (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2d
Dummy variables 𝑡 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12524 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
3 nfv 1906 . . . . . . . . 9 𝑐𝜑
4 nfcv 2977 . . . . . . . . . 10 𝑐𝑠
5 nfmpt1 5156 . . . . . . . . . . 11 𝑐(𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
65nfrn 5818 . . . . . . . . . 10 𝑐ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
74, 6nfel 2992 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
83, 7nfan 1891 . . . . . . . 8 𝑐(𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
9 iccssxr 12809 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 30600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 20517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
1413elin2d 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ Fin)
15 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝜑)
1613elin1d 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
18 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 ∈ V
1918elpw 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2017, 19sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧𝑐)
2220, 21sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
23 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝜑
24 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗𝑧
25 nfiu1 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2624, 25nfel 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
2723, 26nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
28 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
29 esum2d.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝐹
30 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(0[,]+∞)
3129, 30nfel 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
32 esum2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
34 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
35 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗𝐴)
36 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘𝐵)
37 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3834, 35, 36, 37syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3933, 38eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
40 elsnxp 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
4140biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4241adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4328, 31, 39, 42r19.29af2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
45 eliun 4916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
4644, 45sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
4727, 43, 46r19.29af 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
4815, 22, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
4948ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑐 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
5010, 12, 14, 49gsummptcl 19018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
519, 50sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
5251ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
53 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) = (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
5453rnmptss 6879 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ* → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
5655ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ⊆ ℝ*)
57 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
5856, 57sseldd 3967 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
59 esum2d.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
60 snex 5323 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑗} ∈ V
61 esum2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
62 xpexg 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6360, 61, 62sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6463ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
65 iunexg 7655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6659, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6747ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
68 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
6968esumcl 31189 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
7066, 67, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ (0[,]+∞))
719, 70sseldi 3964 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
7271ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
73 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
74 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
75 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑐
7674, 75, 14, 48esumgsum 31204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
7766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7847adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
7916, 19sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
8074, 77, 78, 79esummono 31213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8176, 80eqbrtrrd 5082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8281adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
8473, 83eqbrtrd 5080 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
85 xrlenlt 10695 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) → (𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
8685biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
8758, 72, 84, 86syl21anc 833 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
88 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
89 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V
9053, 89elrnmpti 5826 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9188, 90sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
928, 87, 91r19.29af 3331 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
9392ralrimiva 3182 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠)
94 nfv 1906 . . . . . . . . 9 𝑐((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
95 nfv 1906 . . . . . . . . . 10 𝑐 𝑠 < 𝑡
966, 95nfrex 3309 . . . . . . . . 9 𝑐𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡
9776adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9897adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
9998adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → Σ*𝑧𝑐𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
100 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
10189a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V)
10253elrnmpt1 5824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
103100, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
10499, 103eqeltrd 2913 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → Σ*𝑧𝑐𝐹 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
105 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) ∧ 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹)
106105breq2d 5070 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) ∧ 𝑡 = Σ*𝑧𝑐𝐹) → (𝑠 < 𝑡𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹))
107 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹)
108104, 106, 107rspcedvd 3625 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
109 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑠 ∈ ℝ*)
110 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑠
111 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 <
11268nfesum1 31199 . . . . . . . . . . . 12 𝑧Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹
113110, 111, 112nfbr 5105 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹
114109, 113nfan 1891 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
11566ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
116473ad2antr3 1182 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
1171163anassrs 1352 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
118 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑠 ∈ ℝ*)
119 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
120114, 115, 117, 118, 119esumlub 31219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑠 < Σ*𝑧𝑐𝐹)
12194, 96, 108, 120r19.29af2 3330 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
122121ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) → (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
123122ralrimiva 3182 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
12493, 123jca 512 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
125 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → 𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
126125breq1d 5068 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (𝑟 < 𝑠 ↔ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
127126notbid 319 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (¬ 𝑟 < 𝑠 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
128127ralbidv 3197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠))
129125breq2d 5070 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (𝑠 < 𝑟𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
130129imbi1d 343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ((𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡) ↔ (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
131130ralbidv 3197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
132128, 131anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → ((∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)) ↔ (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))))
13371, 132rspcedv 3615 . . . . 5 (𝜑 → ((∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)) → ∃𝑟 ∈ ℝ* (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))))
134124, 133mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ* (∀𝑠 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ¬ 𝑟 < 𝑠 ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ* (𝑠 < 𝑟 → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)))
1352, 134supcl 8911 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
136 nfv 1906 . . . . 5 𝑎𝜑
137 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑎𝑠
138 nfmpt1 5156 . . . . . . 7 𝑎(𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
139138nfrn 5818 . . . . . 6 𝑎ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
140137, 139nfel 2992 . . . . 5 𝑎 𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
141136, 140nfan 1891 . . . 4 𝑎(𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
142 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
143 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝜑)
144142elin1d 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
145 elpwi 4549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝐴)
147146sselda 3966 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝑗𝐴)
148143, 147, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → 𝐵𝑊)
149143adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝜑)
150147adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝑗𝐴)
151 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝑘𝐵)
152149, 150, 151, 37syl12anc 832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑗𝑎𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153142elin2d 4175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
15429, 32, 142, 148, 152, 153esum2dlem 31251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
155 nfv 1906 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
156 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑎
15737anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
158157ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
159 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐵
160159esumcl 31189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16161, 158, 160syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
162143, 147, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑗𝑎) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
163155, 156, 153, 162esumgsum 31204 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
164154, 163eqtr3d 2858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
165 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16666adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
16747adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
168 iunss1 4925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
169146, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
170165, 166, 167, 169esummono 31213 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
171164, 170eqbrtrrd 5082 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
17211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
173162ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑗𝑎 Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17410, 172, 153, 173gsummptcl 19018 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
1759, 174sseldi 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
17671adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*)
177 xrlenlt 10695 . . . . . . . . . 10 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
178175, 176, 177syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ≤ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
179171, 178mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
180 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
181 eqidd 2822 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
182180, 68, 66, 47, 181esumval 31205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
183182adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
184183breq1d 5068 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ↔ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
185179, 184mtbid 325 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
186185adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
187186adantr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
188 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
189188breq2d 5070 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠 ↔ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
190189notbid 319 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠 ↔ ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
191187, 190mpbird 258 . . . 4 ((((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠)
192 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
193 ovex 7178 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V
194192, 193elrnmpti 5826 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
195194biimpi 217 . . . . 5 (𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
196195adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑠 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
197141, 191, 196r19.29af 3331 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))) → ¬ sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ) < 𝑠)
1984nfel1 2994 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 ∈ ℝ*
199 nfcv 2977 . . . . . . . . . 10 𝑐 <
200 nfcv 2977 . . . . . . . . . . 11 𝑐*
2016, 200, 199nfsup 8904 . . . . . . . . . 10 𝑐sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )
2024, 199, 201nfbr 5105 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )
203198, 202nfan 1891 . . . . . . . 8 𝑐(𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2043, 203nfan 1891 . . . . . . 7 𝑐(𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )))
205 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑐𝑢
206205, 6nfel 2992 . . . . . . 7 𝑐 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
207204, 206nfan 1891 . . . . . 6 𝑐((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))
208 nfv 1906 . . . . . 6 𝑐 𝑠 < 𝑢
209207, 208nfan 1891 . . . . 5 𝑐(((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢)
210 simp-5l 781 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝜑)
211 simpr1l 1222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
2122113anassrs 1352 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
2132123anassrs 1352 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
214210, 213jca 512 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → (𝜑𝑠 ∈ ℝ*))
215 simpr1r 1223 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2162153anassrs 1352 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ (𝑠 < 𝑢𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
2172163anassrs 1352 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
218214, 217jca 512 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )))
219 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < 𝑢)
220 simpr 485 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
221219, 220breqtrd 5084 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
222 simplr 765 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
223 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
224223elin1d 4174 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
225 elpwi 4549 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
226 dmss 5765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 ⊆ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
227 dmiun 5776 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵)
228226, 227sseqtrdi 4016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵))
229 dmxpss 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ {𝑗}
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝐴 → dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ {𝑗})
231 snssi 4735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝐴 → {𝑗} ⊆ 𝐴)
232230, 231sstrd 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝐴 → dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴)
233232rgen 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴
234 iunss 4961 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴)
235233, 234mpbir 232 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐴 dom ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝐴
236228, 235sstrdi 3978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐𝐴)
23718dmex 7604 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑐 ∈ V
238237elpw 4544 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ dom 𝑐𝐴)
239236, 238sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
240224, 225, 2393syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
241223elin2d 4175 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ∈ Fin)
242 dmfi 8791 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ Fin → dom 𝑐 ∈ Fin)
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ Fin)
244240, 243elind 4170 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
245 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V
246245a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
247 mpteq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = dom 𝑐 → (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))
248247oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑐 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
249192, 248elrnmpt1s 5823 . . . . . . . . 9 ((dom 𝑐 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
250244, 246, 249syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
251 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
252251breq2d 5070 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑡 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))) → (𝑠 < 𝑡𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))))
253 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
25411a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
255 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
256 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 Σg
257 nfmpt1 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝑧𝑐𝐹)
258255, 256, 257nfov 7175 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))
259110, 111, 258nfbr 5105 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))
260109, 259nfan 1891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
261 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
262260, 261nfan 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
263 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝜑)
264224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
265264sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
266263, 265, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑧𝑐) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
267266ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑧𝑐𝐹 ∈ (0[,]+∞)))
268262, 267ralrimi 3216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑐 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
26910, 254, 241, 268gsummptcl 19018 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
2709, 269sseldi 3964 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ∈ ℝ*)
271 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
272 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑐
27325nfpw 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
274 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗Fin
275273, 274nfin 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
276272, 275nfel 2992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)
277271, 276nfan 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
278 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝜑)
27979, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐𝐴)
280279sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑗𝐴)
281278, 280, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
282281adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
283282adantllr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
284283ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑗 ∈ dom 𝑐 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
285277, 284ralrimi 3216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∀𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
28610, 254, 243, 285gsummptcl 19018 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
2879, 286sseldi 3964 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
288 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
28923, 276nfan 1891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin))
290 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
291 xpss 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
292291rgenw 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
293 iunss 4961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V))
294292, 293mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ (V × V))
296290, 295sstrd 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → 𝑐 ⊆ (V × V))
29779, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑐 ⊆ (V × V))
298 df-rel 5556 . . . . . . . . . . . . . 14 (Rel 𝑐𝑐 ⊆ (V × V))
299297, 298sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Rel 𝑐)
30029, 289, 10, 32, 299, 14, 12, 48gsummpt2d 30615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
301 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗dom 𝑐
302237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ V)
303278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝜑)
304280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝑗𝐴)
30579adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
306 imass1 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}))
307305, 306syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}))
30859, 61iunsnima 30298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}) = 𝐵)
309278, 280, 308syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) “ {𝑗}) = 𝐵)
310307, 309sseqtrd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ⊆ 𝐵)
311310sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝑘𝐵)
312303, 304, 311, 37syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
313312ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → ∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
314 imaexg 7608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ V → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ V)
31518, 314ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 “ {𝑗}) ∈ V
316 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑐 “ {𝑗})
317316esumcl 31189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑐 “ {𝑗}) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
318315, 317mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
319313, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ∈ (0[,]+∞))
320 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐)
321278, 280, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝐵𝑊)
322278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝜑)
323280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑗𝐴)
324 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
325322, 323, 324, 37syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
326320, 321, 325, 310esummono 31213 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐵𝐶)
327289, 301, 302, 319, 281, 326esumlef 31221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 ≤ Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶)
32814, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → dom 𝑐 ∈ Fin)
329289, 301, 328, 319esumgsum 31204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶)))
33014adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → 𝑐 ∈ Fin)
331 imafi2 30374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ Fin → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ Fin)
332330, 331syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → (𝑐 “ {𝑗}) ∈ Fin)
333320, 316, 332, 312esumgsum 31204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝑐) → Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))
334289, 333mpteq2da 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶) = (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶))))
335334oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
336329, 335eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗})𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))))
337289, 301, 328, 281esumgsum 31204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → Σ*𝑗 ∈ dom 𝑐Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
338327, 336, 3373brtr3d 5089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝑐 “ {𝑗}) ↦ 𝐶)))) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
339300, 338eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
340339adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
341340adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
342253, 270, 287, 288, 341xrltletrd 12544 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗 ∈ dom 𝑐 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
343250, 252, 342rspcedvd 3625 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
344343adantllr 715 . . . . . 6 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) ∧ 𝑠 < ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
345218, 221, 222, 344syl21anc 833 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)) ∧ 𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
34653, 89elrnmpti 5826 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
347346biimpi 217 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
348347ad2antlr 723 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin)𝑢 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))
349209, 345, 348r19.29af 3331 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) ∧ 𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))) ∧ 𝑠 < 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
3502, 134suplub 8913 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < )) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡))
351350imp 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡)
352 breq2 5062 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → (𝑠 < 𝑡𝑠 < 𝑢))
353352cbvrexvw 3451 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑢)
354351, 353sylib 219 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹)))𝑠 < 𝑢)
355349, 354r19.29a 3289 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑠 < sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))) → ∃𝑡 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))𝑠 < 𝑡)
3562, 135, 197, 355eqsupd 8910 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑐 ∈ (𝒫 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑧𝑐𝐹))), ℝ*, < ))
357 nfcv 2977 . . 3 𝑗𝐴
358 eqidd 2822 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶)))
35923, 357, 59, 161, 358esumval 31205 . 2 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = sup(ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑗𝑎 ↦ Σ*𝑘𝐵𝐶))), ℝ*, < ))
360356, 359, 1823eqtr4d 2866 1 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wnfc 2961  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3495  cin 3934  wss 3935  𝒫 cpw 4537  {csn 4559  cop 4565   ciun 4912   class class class wbr 5058  cmpt 5138   Or wor 5467   × cxp 5547  dom cdm 5549  ran crn 5550  cima 5552  Rel wrel 5554  (class class class)co 7145  Fincfn 8498  supcsup 8893  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  [,]cicc 12731  s cress 16474   Σg cgsu 16704  *𝑠cxrs 16763  CMndccmn 18837  Σ*cesum 31186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-ordt 16764  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-ps 17800  df-tsr 17801  df-plusf 17841  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-cring 19231  df-subrg 19464  df-abv 19519  df-lmod 19567  df-scaf 19568  df-sra 19875  df-rgmod 19876  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-tmd 22610  df-tgp 22611  df-tsms 22664  df-trg 22697  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-nm 23121  df-ngp 23122  df-nrg 23124  df-nlm 23125  df-ii 23414  df-cncf 23415  df-limc 24393  df-dv 24394  df-log 25067  df-esum 31187
This theorem is referenced by:  esumiun  31253
  Copyright terms: Public domain W3C validator