Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcst 30099
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1 𝑘𝐴
esumcst.2 𝑘𝐵
Assertion
Ref Expression
esumcst ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5 𝑘𝐴
21nfel1 2776 . . . 4 𝑘 𝐴𝑉
3 esumcst.2 . . . . 5 𝑘𝐵
43nfel1 2776 . . . 4 𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
52, 4nfan 1826 . . 3 𝑘(𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 simpl 473 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 simplr 791 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 xrge0tmd 29966 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9 tmdmnd 21860 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12 inss2 3826 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1412, 13sseldi 3593 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15 simplr 791 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 xrge0base 29659 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 eqid 2620 . . . . . 6 (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
183, 16, 17gsumconstf 18316 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
1911, 14, 15, 18syl3anc 1324 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
20 hashcl 13130 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
22 xrge0mulgnn0 29663 . . . . 5 (((#‘𝑥) ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
2321, 15, 22syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
2419, 23eqtrd 2654 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
255, 1, 6, 7, 24esumval 30082 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26 nn0ssre 11281 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
27 ressxr 10068 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2826, 27sstri 3604 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
29 pnfxr 10077 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
30 snssi 4330 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {+∞} ⊆ ℝ*
3228, 31unssi 3780 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33 hashf 13108 . . . . . . . . 9 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34 vex 3198 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
35 ffvelrn 6343 . . . . . . . . 9 ((#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (#‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
3633, 34, 35mp2an 707 . . . . . . . 8 (#‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
3732, 36sselii 3592 . . . . . . 7 (#‘𝑥) ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
39 iccssxr 12241 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4139, 40sseldi 3593 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4241adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4338, 42xmulcld 12117 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44 eqid 2620 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
4543, 44fmptd 6371 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
46 frn 6040 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
48 hashxrcl 13131 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
4948adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
5049, 41xmulcld 12117 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
51 vex 3198 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
5244elrnmpt 5361 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
5453biimpi 206 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
5549adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
56 0xr 10071 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
59 iccgelb 12215 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6057, 58, 15, 59syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
6142, 60jca 554 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
626adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
63 inss1 3825 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
6463sseli 3591 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
65 elpwi 4159 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
6613, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
67 ssdomg 7986 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
6862, 66, 67sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
69 hashdomi 13152 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴))
71 xlemul1a 12103 . . . . . . . 8 ((((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1327 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7372ralrimiva 2963 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
74 r19.29r 3069 . . . . . 6 ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
7554, 73, 74syl2anr 495 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
76 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
77 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7876, 77eqbrtrd 4666 . . . . . 6 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7978rexlimivw 3025 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8075, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8180ralrimiva 2963 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
82 pwidg 4164 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
8382ancri 574 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
84 elin 3788 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
8583, 84sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
86 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)
87 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
8887oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8988eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
9089rspcev 3304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
9186, 90mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
92 ovex 6663 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
9344elrnmpt 5361 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
9591, 94sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9685, 95syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9796adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
98 simplr 791 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
99 breq2 4648 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
10099rspcev 3304 . . . . . . 7 ((((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
10197, 98, 100syl2anc 692 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
102 0elpw 4825 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
103 0fin 8173 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
104 elin 3788 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
105102, 103, 104mpbir2an 954 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
107 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
108107oveq2d 6651 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘∅) ·e 𝐵) = ((#‘∅) ·e 0))
109 hash0 13141 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘∅) = 0
110109, 56eqeltri 2695 . . . . . . . . . . . 12 (#‘∅) ∈ ℝ*
111 xmul01 12082 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘∅) ∈ ℝ* → ((#‘∅) ·e 0) = 0)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((#‘∅) ·e 0) = 0
113108, 112syl6req 2671 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵))
114 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
115114oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘∅) ·e 𝐵))
116115eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵)))
117116rspcev 3304 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
118106, 113, 117syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
119 ovex 6663 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
12044, 119elrnmpti 5365 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
121118, 120sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
122 simpllr 798 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
123107oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 0))
12449ad4antr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
125 xmul01 12082 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℝ* → ((#‘𝐴) ·e 0) = 0)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 0) = 0)
127123, 126eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
128122, 127breqtrd 4670 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
129 breq2 4648 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 0))
130129rspcev 3304 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
131121, 128, 130syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
132 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
133 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (#‘𝑎) = 𝑛)
134 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
135133, 134eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (#‘𝑎) ∈ ℕ)
136 nnnn0 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑎) ∈ ℕ → (#‘𝑎) ∈ ℕ0)
137 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ V
138 hashclb 13132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (#‘𝑎) ∈ ℕ0))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Fin ↔ (#‘𝑎) ∈ ℕ0)
140136, 139sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
141135, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
142132, 141elind 3790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
143 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
144 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → (#‘𝑥) = (#‘𝑎))
145144oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
146145eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵)))
147146rspcev 3304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
148142, 143, 147syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
14944, 119elrnmpti 5365 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
150148, 149sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
151 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
152 simp-8r 814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
153134nnred 11020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
154 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
155152, 153, 154ltdivmul2d 11909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
156151, 155mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
157133oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
158154rpred 11857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
159 rexmul 12086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
160153, 158, 159syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
161157, 160eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
162156, 161breqtrrd 4672 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
163 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((#‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵)))
164163rspcev 3304 . . . . . . . . . . . 12 ((((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
165150, 162, 164syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
166165ex 450 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((#‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
167166rexlimdva 3027 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
168167impr 648 . . . . . . . 8 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
169 simp-4r 806 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
170 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
171169, 170rerpdivcld 11888 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
172 arch 11274 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
174 ishashinf 13230 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)
175174ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)
176 r19.29r 3069 . . . . . . . . 9 ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛))
177173, 175, 176syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛))
178168, 177r19.29a 3074 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
179 nfielex 8174 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙𝐴)
180179adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙𝐴)
181 snelpwi 4903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
182 snfi 8023 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑙} ∈ Fin
183181, 182jctir 560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
184 elin 3788 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
185183, 184sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
186185adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
187 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → 𝐵 = +∞)
188187oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((#‘{𝑙}) ·e +∞))
189 hashsng 13142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙𝐴 → (#‘{𝑙}) = 1)
190 1re 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
19127, 190sselii 3592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
192189, 191syl6eqel 2707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → (#‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
193 0lt1 10535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
194193, 189syl5breqr 4682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → 0 < (#‘{𝑙}))
195 xmulpnf1 12089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (#‘{𝑙})) → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
196192, 194, 195syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
197196adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
198188, 197eqtr2d 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵))
199 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝑙} → (#‘𝑥) = (#‘{𝑙}))
200199oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = {𝑙} → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵))
201200eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑙} → (+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵)))
202201rspcev 3304 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
203186, 198, 202syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
204180, 203exlimddv 1861 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
205204adantll 749 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
20644, 119elrnmpti 5365 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
207205, 206sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
208 simp-4r 806 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
209 ltpnf 11939 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
210208, 209syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
211 breq2 4648 . . . . . . . . 9 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
212211rspcev 3304 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213207, 210, 212syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
214 simp-4r 806 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
215 elxrge02 29614 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
216214, 215sylib 208 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
217131, 178, 213, 216mpjao3dan 1393 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
218101, 217pm2.61dan 831 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
219218ex 450 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
220219ralrimiva 2963 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
221 supxr2 12129 . . 3 (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
22247, 50, 81, 220, 221syl22anc 1325 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
22325, 222eqtrd 2654 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wnfc 2749  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  cun 3565  cin 3566  wss 3567  c0 3907  𝒫 cpw 4149  {csn 4168   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ran crn 5105  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cdom 7938  Fincfn 7940  supcsup 8331  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060   / cdiv 10669  cn 11005  0cn0 11277  +crp 11817   ·e cxmu 11930  [,]cicc 12163  #chash 13100  s cress 15839   Σg cgsu 16082  *𝑠cxrs 16141  Mndcmnd 17275  .gcmg 17521  TopMndctmd 21855  Σ*cesum 30063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-ordt 16142  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-plusf 17222  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-abv 18798  df-lmod 18846  df-scaf 18847  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-tmd 21857  df-tgp 21858  df-tsms 21911  df-trg 21944  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-nrg 22371  df-nlm 22372  df-ii 22661  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-esum 30064
This theorem is referenced by:  esumpinfval  30109  esumpinfsum  30113
  Copyright terms: Public domain W3C validator