Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcst 29258
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1 𝑘𝐴
esumcst.2 𝑘𝐵
Assertion
Ref Expression
esumcst ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5 𝑘𝐴
21nfel1 2764 . . . 4 𝑘 𝐴𝑉
3 esumcst.2 . . . . 5 𝑘𝐵
43nfel1 2764 . . . 4 𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
52, 4nfan 1815 . . 3 𝑘(𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 simpl 471 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 simplr 787 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 xrge0tmd 29126 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9 tmdmnd 21631 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12 inss2 3795 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13 simpr 475 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1412, 13sseldi 3565 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15 simplr 787 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 xrge0base 28822 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 eqid 2609 . . . . . 6 (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
183, 16, 17gsumconstf 18104 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
1911, 14, 15, 18syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
20 hashcl 12961 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
22 xrge0mulgnn0 28826 . . . . 5 (((#‘𝑥) ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
2321, 15, 22syl2anc 690 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
2419, 23eqtrd 2643 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
255, 1, 6, 7, 24esumval 29241 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26 nn0ssre 11143 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
27 ressxr 9939 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2826, 27sstri 3576 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
29 pnfxr 11781 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
30 snssi 4279 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {+∞} ⊆ ℝ*
3228, 31unssi 3749 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33 hashf 12941 . . . . . . . . 9 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34 vex 3175 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
35 ffvelrn 6250 . . . . . . . . 9 ((#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (#‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
3633, 34, 35mp2an 703 . . . . . . . 8 (#‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
3732, 36sselii 3564 . . . . . . 7 (#‘𝑥) ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
39 iccssxr 12083 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4139, 40sseldi 3565 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4241adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4338, 42xmulcld 11961 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44 eqid 2609 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
4543, 44fmptd 6277 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
46 frn 5952 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
48 hashxrcl 12962 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
4948adantr 479 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
5049, 41xmulcld 11961 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
51 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
5244elrnmpt 5280 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
5453biimpi 204 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
5549adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
56 0xr 9942 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
59 iccgelb 12057 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6057, 58, 15, 59syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
6142, 60jca 552 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
626adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
63 inss1 3794 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
6463sseli 3563 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
65 elpwi 4116 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
6613, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
67 ssdomg 7864 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
6862, 66, 67sylc 62 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
69 hashdomi 12982 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴))
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴))
71 xlemul1a 11947 . . . . . . . 8 ((((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (#‘𝑥) ≤ (#‘𝐴)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1320 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7372ralrimiva 2948 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
74 r19.29r 3054 . . . . . 6 ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
7554, 73, 74syl2anr 493 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
76 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
77 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7876, 77eqbrtrd 4599 . . . . . 6 ((𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
7978rexlimivw 3010 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8075, 79syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8180ralrimiva 2948 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
82 pwidg 4120 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
8382ancri 572 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
84 elin 3757 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
8583, 84sylibr 222 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
86 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)
87 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
8887oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
8988eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
9089rspcev 3281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
9186, 90mpan2 702 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
92 ovex 6555 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
9344elrnmpt 5280 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
9591, 94sylibr 222 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9685, 95syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
9796adantl 480 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
98 simplr 787 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
99 breq2 4581 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)))
10099rspcev 3281 . . . . . . 7 ((((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
10197, 98, 100syl2anc 690 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
102 0elpw 4755 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
103 0fin 8050 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
104 elin 3757 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
105102, 103, 104mpbir2an 956 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
107 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
108107oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘∅) ·e 𝐵) = ((#‘∅) ·e 0))
109 hash0 12971 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘∅) = 0
110109, 56eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . 12 (#‘∅) ∈ ℝ*
111 xmul01 11926 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘∅) ∈ ℝ* → ((#‘∅) ·e 0) = 0)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((#‘∅) ·e 0) = 0
113108, 112syl6req 2660 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵))
114 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
115114oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘∅) ·e 𝐵))
116115eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵)))
117116rspcev 3281 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((#‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
118106, 113, 117syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
119 ovex 6555 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
12044, 119elrnmpti 5284 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
121118, 120sylibr 222 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
122 simpllr 794 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
123107oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = ((#‘𝐴) ·e 0))
12449ad4antr 763 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
125 xmul01 11926 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℝ* → ((#‘𝐴) ·e 0) = 0)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 0) = 0)
127123, 126eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((#‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
128122, 127breqtrd 4603 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
129 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 0))
130129rspcev 3281 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
131121, 128, 130syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
132 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
133 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (#‘𝑎) = 𝑛)
134 simp-4r 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
135133, 134eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (#‘𝑎) ∈ ℕ)
136 nnnn0 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑎) ∈ ℕ → (#‘𝑎) ∈ ℕ0)
137 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ V
138 hashclb 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (#‘𝑎) ∈ ℕ0))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Fin ↔ (#‘𝑎) ∈ ℕ0)
140136, 139sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
141135, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
142132, 141elind 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
143 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
144 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → (#‘𝑥) = (#‘𝑎))
145144oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
146145eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵)))
147146rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
148142, 143, 147syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
14944, 119elrnmpti 5284 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((#‘𝑎) ·e 𝐵) = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
150148, 149sylibr 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
151 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
152 simp-8r 810 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
153134nnred 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
154 simp-5r 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
155152, 153, 154ltdivmul2d 11756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
156151, 155mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
157133oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
158154rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
159 rexmul 11930 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
160153, 158, 159syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
161157, 160eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ((#‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
162156, 161breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵))
163 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((#‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵)))
164163rspcev 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((((#‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((#‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
165150, 162, 164syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
166165ex 448 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((#‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
167166rexlimdva 3012 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
168167impr 646 . . . . . . . 8 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
169 simp-4r 802 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
170 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
171169, 170rerpdivcld 11735 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
172 arch 11136 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
174 ishashinf 13056 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)
175174ad2antlr 758 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛)
176 r19.29r 3054 . . . . . . . . 9 ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛))
177173, 175, 176syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑎) = 𝑛))
178168, 177r19.29a 3059 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
179 nfielex 8051 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙𝐴)
180179adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙𝐴)
181 snelpwi 4834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
182 snfi 7900 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑙} ∈ Fin
183181, 182jctir 558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
184 elin 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
185183, 184sylibr 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
186185adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
187 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → 𝐵 = +∞)
188187oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((#‘{𝑙}) ·e +∞))
189 hashsng 12972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙𝐴 → (#‘{𝑙}) = 1)
190 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
19127, 190sselii 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
192189, 191syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → (#‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
193 0lt1 10399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
194193, 189syl5breqr 4615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → 0 < (#‘{𝑙}))
195 xmulpnf1 11933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (#‘{𝑙})) → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
196192, 194, 195syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
197196adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((#‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
198188, 197eqtr2d 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵))
199 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝑙} → (#‘𝑥) = (#‘{𝑙}))
200199oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = {𝑙} → ((#‘𝑥) ·e 𝐵) = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵))
201200eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑙} → (+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵) ↔ +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵)))
202201rspcev 3281 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((#‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
203186, 198, 202syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
204180, 203exlimddv 1849 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
205204adantll 745 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
20644, 119elrnmpti 5284 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((#‘𝑥) ·e 𝐵))
207205, 206sylibr 222 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)))
208 simp-4r 802 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
209 ltpnf 11791 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
210208, 209syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
211 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
212211rspcev 3281 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213207, 210, 212syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
214 simp-4r 802 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
215 elxrge02 28777 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
216214, 215sylib 206 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
217131, 178, 213, 216mpjao3dan 1386 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
218101, 217pm2.61dan 827 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
219218ex 448 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
220219ralrimiva 2948 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
221 supxr2 11972 . . 3 (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((#‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((#‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
22247, 50, 81, 220, 221syl22anc 1318 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((#‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
22325, 222eqtrd 2643 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((#‘𝐴) ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wnfc 2737  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cdom 7816  Fincfn 7818  supcsup 8206  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  cn 10867  0cn0 11139  +crp 11664   ·e cxmu 11777  [,]cicc 12005  #chash 12934  s cress 15642   Σg cgsu 15870  *𝑠cxrs 15929  Mndcmnd 17063  .gcmg 17309  TopMndctmd 21626  Σ*cesum 29222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-ordt 15930  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-plusf 17010  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-lmod 18634  df-scaf 18635  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-tmd 21628  df-tgp 21629  df-tsms 21682  df-trg 21715  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-ii 22419  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-esum 29223
This theorem is referenced by:  esumpinfval  29268  esumpinfsum  29272
  Copyright terms: Public domain W3C validator