Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvg 30122
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 14439. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
esumcvg.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
esumcvg.a ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumcvg.m (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumcvg (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑚,𝐹,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑚)   𝐽(𝑚)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11708 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11393 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4 rge0ssre 12265 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 9978 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3604 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
87eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
98cbvralv 3166 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
10 rsp 2926 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
119, 10sylbir 225 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1312imp 445 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
146, 13sseldi 3593 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantlr 750 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 esumcvg.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
17 fzfid 12755 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
18 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918, 13sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2019adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2117, 20esumpfinval 30111 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2221mpteq2dva 4735 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
2316, 22syl5eq 2666 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
246, 20sseldi 3593 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2517, 24fsumcl 14445 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ ℂ)
2623, 25fvmpt2d 6280 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2726adantlr 750 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
281, 2, 3, 15, 27isumclim3 14471 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
29 esumcvg.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3017, 20fsumrp0cl 29669 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3121, 30eqeltrd 2699 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3231, 16fmptd 6371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
34 simplll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
35 eqidd 2621 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))
36 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚𝑚 = 𝑘)
37 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
387, 36, 373imtr3i 280 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘𝐵 = 𝐴)
3938adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝐵 = 𝐴)
40 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 esumcvg.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
4235, 39, 40, 41fvmptd 6275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4334, 42sylancom 700 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4413adantlr 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
45 elrege0 12263 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4644, 45sylib 208 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4746simpld 475 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 ovex 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ∈ V
49 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
5018adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5149, 50, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5251ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
53 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(1...𝑛)
5453esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5548, 52, 54sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5655, 16fmptd 6371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
57 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℕ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 Fn ℕ)
60 1z 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
61 seqfn 12796 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1)
631fneq2i 5974 . . . . . . . . . . . . 13 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6462, 63mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ)
66 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
6718, 42sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
6866, 67sylancom 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
69 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
7069, 1syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
7168, 70, 24fsumser 14442 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7226, 71eqtrd 2654 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7359, 65, 72eqfnfvd 6300 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7574, 3eqeltrrd 2700 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) ∈ dom ⇝ )
761, 2, 43, 47, 75isumrecl 14477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ)
7746simprd 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
781, 2, 43, 47, 75, 77isumge0 14478 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
79 elrege0 12263 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8076, 78, 79sylanbrc 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81 ssid 3616 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
8229, 33, 80, 81lmlimxrge0 29968 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8328, 82mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8416, 3syl5eqelr 2704 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8522eleq1d 2684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8685adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8784, 86mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8844, 7, 87esumpcvgval 30114 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8983, 88breqtrrd 4672 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
9032adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
91 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9291nnzd 11466 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
93 uzid 11687 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
94 peano2uz 11726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
96 simplll 797 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
9796, 13sylancom 700 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
9891, 95, 97esumpmono 30115 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
9926, 21eqtr4d 2657 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10099adantlr 750 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
101 oveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑛 → (1...𝑙) = (1...𝑛))
102 esumeq1 30070 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑙) = (1...𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
104103cbvmptv 4741 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10516, 104eqtr4i 2645 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
107 simpr3 1067 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → 𝑙 = (𝑛 + 1))
108 oveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑙 = (𝑛 + 1) → (1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)))
109 esumeq1 30070 . . . . . . . . 9 ((1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
1111103anassrs 1288 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
11291peano2nnd 11022 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
113 ovex 6663 . . . . . . . 8 (1...(𝑛 + 1)) ∈ V
114 simp-4l 805 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝜑)
115 elfznn 12355 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
116115adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
117114, 116, 41syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
118117ralrimiva 2963 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
119 nfcv 2762 . . . . . . . . 9 𝑘(1...(𝑛 + 1))
120119esumcl 30066 . . . . . . . 8 (((1...(𝑛 + 1)) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121113, 118, 120sylancr 694 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
122106, 111, 112, 121fvmptd 6275 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
12398, 100, 1223brtr4d 4676 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
124 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
12529, 90, 123, 124lmdvglim 29974 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
126 nfv 1841 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
127 nfcv 2762 . . . . . . 7 𝑘
128 nnex 11011 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℕ ∈ V)
13041adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
131 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
132 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
133 inss1 3825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
134 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
135133, 134sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ)
136135elpwid 4161 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ⊆ ℕ)
137 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
138136, 137sseldd 3596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ ℕ)
139132, 138, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
140 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑥𝐴) = (𝑘𝑥𝐴)
141139, 140fmptd 6371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞))
142 esumpfinvallem 30110 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
143131, 141, 142syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
144 inss2 3826 . . . . . . . . . 10 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ Fin
145144, 131sseldi 3593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
146132, 138, 14syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℂ)
147145, 146gsumfsum 19794 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
148143, 147eqtr3d 2656 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
149126, 127, 129, 130, 148esumval 30082 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
150149adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
15190, 123, 124lmdvg 29973 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
152151r19.21bi 2929 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
153 nnz 11384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ ℤ)
154 uzid 11687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
156 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
157156fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑙))
158157breq2d 4656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑦 < (𝐹𝑛) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑙)))
159155, 158rspcdv 3307 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → 𝑦 < (𝐹𝑙)))
160159reximia 3006 . . . . . . . . . 10 (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
161152, 160syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
162 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
16390ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
164 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
165163, 164ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ (0[,)+∞))
1664, 165sseldi 3593 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
167 ltle 10111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑙) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
168162, 166, 167syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
16916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
170 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
171 esumeq1 30070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1...𝑛) = (1...𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
173172adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
174 esumex 30065 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V)
176169, 173, 164, 175fvmptd 6275 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
177 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
178 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
179 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
180179adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
181178, 180, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
182177, 181esumpfinval 30111 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
183176, 182eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
184183breq2d 4656 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
185168, 184sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
186185reximdva 3014 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
187161, 186mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
188 fzssuz 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ⊆ (ℤ‘1)
189188, 1sseqtr4i 3630 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑙) ⊆ ℕ
190 ovex 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ∈ V
191190elpw 4155 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (1...𝑙) ⊆ ℕ)
192189, 191mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ
193 fzfi 12754 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ Fin
194 elin 3788 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ∧ (1...𝑙) ∈ Fin))
195192, 193, 194mpbir2an 954 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
196 sumex 14399 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
197 eqid 2620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
198 sumeq1 14400 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1...𝑙) → Σ𝑘𝑥 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
199197, 198elrnmpt1s 5362 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴))
200195, 196, 199mp2an 707 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
201 nfv 1841 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴
202 breq2 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → (𝑦𝑧𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
203201, 202rspce 3299 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
204200, 203mpan 705 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
205204rexlimivw 3025 . . . . . . . 8 (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
206187, 205syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
207206ralrimiva 2963 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
208 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
209144, 208sseldi 3593 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
210139adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2114, 210sseldi 3593 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
212209, 211fsumrecl 14446 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ)
213212rexrd 10074 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ*)
214213, 197fmptd 6371 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ*)
215 frn 6040 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ*)
216 supxrunb1 12134 . . . . . . 7 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
217214, 215, 2163syl 18 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
218207, 217mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞)
219150, 218eqtrd 2654 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
220125, 219breqtrrd 4672 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
22189, 220pm2.61dan 831 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
22216reseq1i 5381 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘))
223 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
224223anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
225 sbequ12r 2110 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ([𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞))
226224, 225anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞)))
227 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
228227reseq2d 5385 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)))
229227xpeq1d 5128 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
230228, 229eqeq12d 2635 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
231226, 230imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞})) ↔ (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))))
232 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑𝑙 ∈ ℕ)
233 nfs1v 2435 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘[𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞
234232, 233nfan 1826 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
235 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)
236234, 235nfan 1826 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙))
237 ovexd 6665 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → (1...𝑛) ∈ V)
238 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
23918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
240238, 239, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
241 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ ℕ)
242 elnnuz 11709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ (ℤ‘1))
243 eluzfz 12322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
244242, 243sylanb 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
245241, 244sylancom 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
246 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
247 sbequ12 2109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 = +∞ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞))
248233, 247rspce 3299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ (1...𝑛) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
249245, 246, 248syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
250236, 237, 240, 249esumpinfval 30109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
251250ralrimiva 2963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
252 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑙))
253 mpteq12 4727 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤ𝑙) = (ℤ𝑙) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
254252, 253sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
255 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → 𝑙 ∈ ℕ)
256 uznnssnn 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
257 resmpt 5437 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ𝑙) ⊆ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
258255, 256, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
259258adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
260 fconstmpt 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
262254, 259, 2613eqtr4d 2664 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
263251, 262mpdan 701 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
264231, 263chvarv 2261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
265222, 264syl5eq 2666 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
266265ex 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = +∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
267266reximdva 3014 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
268267imp 445 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
269 xrge0topn 29963 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
27029, 269eqtri 2642 . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
271 letopon 20990 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
272 iccssxr 12241 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
273 resttopon 20946 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
274271, 272, 273mp2an 707 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
275270, 274eqeltri 2695 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
276275a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
277 0xr 10071 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
278 pnfxr 10077 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
279 0lepnf 11951 . . . . . . . . . 10 0 ≤ +∞
280 ubicc2 12274 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
281277, 278, 279, 280mp3an 1422 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0[,]+∞)
282281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
28340nnzd 11466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
284 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
285284lmconst 21046 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
286276, 282, 283, 285syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
287 breq1 4647 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞))
288287biimprd 238 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → (((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
289286, 288mpan9 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞)
290 ovexd 6665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0[,]+∞) ∈ V)
291 cnex 10002 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
292291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
29356adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
294 nnsscn 11010 . . . . . . . . . 10 ℕ ⊆ ℂ
295294a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℂ)
296 elpm2r 7860 . . . . . . . . 9 ((((0[,]+∞) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ ℕ ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
297290, 292, 293, 295, 296syl22anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
298276, 297, 283lmres 21085 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
299298biimpar 502 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
300289, 299syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
301300r19.29an 3073 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
302268, 301syldan 487 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
303 nfv 1841 . . . . 5 𝑘𝜑
304 nfre1 3002 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞
305303, 304nfan 1826 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
306128a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ℕ ∈ V)
30741adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
308 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
309305, 306, 307, 308esumpinfval 30109 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
310302, 309breqtrrd 4672 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
311 eleq1 2687 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ ℕ))
312311anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑚 ∈ ℕ)))
3137eleq1d 2684 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
314312, 313imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
315314, 41chvarv 2261 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
316 eliccelico 29513 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞)))
317277, 278, 279, 316mp3an 1422 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
318315, 317sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
319318ralrimiva 2963 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
320 r19.30 3077 . . . 4 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞) → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
321319, 320syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
3227eqeq1d 2622 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
323322cbvrexv 3167 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞)
324323orbi2i 541 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
325321, 324sylibr 224 . 2 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞))
326221, 310, 325mpjaodan 826 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  [wsb 1878  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  𝒫 cpw 4149  {csn 4168   class class class wbr 4644  cmpt 4720   × cxp 5102  dom cdm 5104  ran crn 5105  cres 5106   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  pm cpm 7843  Fincfn 7940  supcsup 8331  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  [,)cico 12162  [,]cicc 12163  ...cfz 12311  seqcseq 12784  cli 14196  Σcsu 14397  s cress 15839  t crest 16062  TopOpenctopn 16063   Σg cgsu 16082  ordTopcordt 16140  *𝑠cxrs 16141  fldccnfld 19727  TopOnctopon 20696  𝑡clm 21011  Σ*cesum 30063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-ordt 16142  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-plusf 17222  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-abv 18798  df-lmod 18846  df-scaf 18847  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-lm 21014  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-tmd 21857  df-tgp 21858  df-tsms 21911  df-trg 21944  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-nrg 22371  df-nlm 22372  df-ii 22661  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-esum 30064
This theorem is referenced by:  esumcvg2  30123
  Copyright terms: Public domain W3C validator