Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvg 29278
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 14248. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
esumcvg.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
esumcvg.a ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumcvg.m (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumcvg (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑚,𝐹,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑚)   𝐽(𝑚)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11552 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11238 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4 rge0ssre 12104 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 9846 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3573 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
87eleq1d 2668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
98cbvralv 3143 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
10 rsp 2909 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
119, 10sylbir 223 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1211adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1312imp 443 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
146, 13sseldi 3562 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantlr 746 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 esumcvg.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
17 fzfid 12586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
18 elfznn 12193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918, 13sylan2 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2019adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2117, 20esumpfinval 29267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2221mpteq2dva 4663 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
2316, 22syl5eq 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
246, 20sseldi 3562 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2517, 24fsumcl 14254 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ ℂ)
2623, 25fvmpt2d 6184 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2726adantlr 746 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
281, 2, 3, 15, 27isumclim3 14275 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
29 esumcvg.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3017, 20fsumrp0cl 28829 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3121, 30eqeltrd 2684 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3231, 16fmptd 6274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
3332adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
34 simplll 793 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
35 eqidd 2607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))
36 eqcom 2613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚𝑚 = 𝑘)
37 eqcom 2613 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
387, 36, 373imtr3i 278 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘𝐵 = 𝐴)
3938adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝐵 = 𝐴)
40 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 esumcvg.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
4235, 39, 40, 41fvmptd 6179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4334, 42sylancom 697 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4413adantlr 746 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
45 elrege0 12102 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4644, 45sylib 206 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4746simpld 473 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 ovex 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ∈ V
49 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
5018adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5149, 50, 41syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5251ralrimiva 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
53 nfcv 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(1...𝑛)
5453esumcl 29222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5548, 52, 54sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5655, 16fmptd 6274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
57 ffn 5941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℕ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5958adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 Fn ℕ)
60 1z 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
61 seqfn 12627 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1)
631fneq2i 5883 . . . . . . . . . . . . 13 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6462, 63mpbir 219 . . . . . . . . . . . 12 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ)
66 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
6718, 42sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
6866, 67sylancom 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
69 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
7069, 1syl6eleq 2694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
7168, 70, 24fsumser 14251 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7226, 71eqtrd 2640 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7359, 65, 72eqfnfvd 6204 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7473adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7574, 3eqeltrrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) ∈ dom ⇝ )
761, 2, 43, 47, 75isumrecl 14281 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ)
7746simprd 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
781, 2, 43, 47, 75, 77isumge0 14282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
79 elrege0 12102 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8076, 78, 79sylanbrc 694 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81 ssid 3583 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
8229, 33, 80, 81lmlimxrge0 29125 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8328, 82mpbird 245 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8416, 3syl5eqelr 2689 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8522eleq1d 2668 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8685adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8784, 86mpbid 220 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8844, 7, 87esumpcvgval 29270 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8983, 88breqtrrd 4602 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
9032adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
91 simpr 475 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9291nnzd 11310 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
93 uzid 11531 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
94 peano2uz 11570 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
96 simplll 793 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
9796, 13sylancom 697 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
9891, 95, 97esumpmono 29271 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
9926, 21eqtr4d 2643 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10099adantlr 746 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
101 oveq2 6532 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑛 → (1...𝑙) = (1...𝑛))
102 esumeq1 29226 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑙) = (1...𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
104103cbvmptv 4669 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10516, 104eqtr4i 2631 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
107 simpr3 1061 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → 𝑙 = (𝑛 + 1))
108 oveq2 6532 . . . . . . . . 9 (𝑙 = (𝑛 + 1) → (1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)))
109 esumeq1 29226 . . . . . . . . 9 ((1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
1111103anassrs 1281 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
11291peano2nnd 10881 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
113 ovex 6552 . . . . . . . 8 (1...(𝑛 + 1)) ∈ V
114 simp-4l 801 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝜑)
115 elfznn 12193 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
116115adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
117114, 116, 41syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
118117ralrimiva 2945 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
119 nfcv 2747 . . . . . . . . 9 𝑘(1...(𝑛 + 1))
120119esumcl 29222 . . . . . . . 8 (((1...(𝑛 + 1)) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121113, 118, 120sylancr 693 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
122106, 111, 112, 121fvmptd 6179 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
12398, 100, 1223brtr4d 4606 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
124 simpr 475 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
12529, 90, 123, 124lmdvglim 29131 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
126 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
127 nfcv 2747 . . . . . . 7 𝑘
128 nnex 10870 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℕ ∈ V)
13041adantlr 746 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
131 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
132 simpll 785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
133 inss1 3791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
134 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
135133, 134sseldi 3562 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ)
136135elpwid 4114 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ⊆ ℕ)
137 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
138136, 137sseldd 3565 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ ℕ)
139132, 138, 13syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
140 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑥𝐴) = (𝑘𝑥𝐴)
141139, 140fmptd 6274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞))
142 esumpfinvallem 29266 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
143131, 141, 142syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
144 inss2 3792 . . . . . . . . . 10 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ Fin
145144, 131sseldi 3562 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
146132, 138, 14syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℂ)
147145, 146gsumfsum 19575 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
148143, 147eqtr3d 2642 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
149126, 127, 129, 130, 148esumval 29238 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
150149adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
15190, 123, 124lmdvg 29130 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
152151r19.21bi 2912 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
153 nnz 11229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ ℤ)
154 uzid 11531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
156 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
157156fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑙))
158157breq2d 4586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑦 < (𝐹𝑛) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑙)))
159155, 158rspcdv 3281 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → 𝑦 < (𝐹𝑙)))
160159reximia 2988 . . . . . . . . . 10 (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
161152, 160syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
162 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
16390ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
164 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
165163, 164ffvelrnd 6250 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ (0[,)+∞))
1664, 165sseldi 3562 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
167 ltle 9974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑙) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
168162, 166, 167syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
16916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
170 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
171 esumeq1 29226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1...𝑛) = (1...𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
173172adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
174 esumex 29221 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V)
176169, 173, 164, 175fvmptd 6179 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
177 fzfid 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
178 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
179 elfznn 12193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
180179adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
181178, 180, 13syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
182177, 181esumpfinval 29267 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
183176, 182eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
184183breq2d 4586 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
185168, 184sylibd 227 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
186185reximdva 2996 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
187161, 186mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
188 fzssuz 12205 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ⊆ (ℤ‘1)
189188, 1sseqtr4i 3597 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑙) ⊆ ℕ
190 ovex 6552 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ∈ V
191190elpw 4110 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (1...𝑙) ⊆ ℕ)
192189, 191mpbir 219 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ
193 fzfi 12585 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ Fin
194 elin 3754 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ∧ (1...𝑙) ∈ Fin))
195192, 193, 194mpbir2an 956 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
196 sumex 14209 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
197 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
198 sumeq1 14210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1...𝑙) → Σ𝑘𝑥 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
199197, 198elrnmpt1s 5278 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴))
200195, 196, 199mp2an 703 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
201 nfv 1829 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴
202 breq2 4578 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → (𝑦𝑧𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
203201, 202rspce 3273 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
204200, 203mpan 701 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
205204rexlimivw 3007 . . . . . . . 8 (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
206187, 205syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
207206ralrimiva 2945 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
208 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
209144, 208sseldi 3562 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
210139adantllr 750 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2114, 210sseldi 3562 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
212209, 211fsumrecl 14255 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ)
213212rexrd 9942 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ*)
214213, 197fmptd 6274 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ*)
215 frn 5949 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ*)
216 supxrunb1 11974 . . . . . . 7 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
217214, 215, 2163syl 18 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
218207, 217mpbid 220 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞)
219150, 218eqtrd 2640 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
220125, 219breqtrrd 4602 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
22189, 220pm2.61dan 827 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
22216reseq1i 5297 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘))
223 eleq1 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
224223anbi2d 735 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
225 sbequ12r 2096 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ([𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞))
226224, 225anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞)))
227 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
228227reseq2d 5301 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)))
229227xpeq1d 5049 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
230228, 229eqeq12d 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
231226, 230imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞})) ↔ (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))))
232 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑𝑙 ∈ ℕ)
233 nfs1v 2421 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘[𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞
234232, 233nfan 1815 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
235 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)
236234, 235nfan 1815 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙))
23748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → (1...𝑛) ∈ V)
238 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
23918adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
240238, 239, 41syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
241 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ ℕ)
242 elnnuz 11553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ (ℤ‘1))
243 eluzfz 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
244242, 243sylanb 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
245241, 244sylancom 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
246 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
247 sbequ12 2095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 = +∞ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞))
248233, 247rspce 3273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ (1...𝑛) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
249245, 246, 248syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
250236, 237, 240, 249esumpinfval 29265 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
251250ralrimiva 2945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
252 eqidd 2607 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑙))
253 mpteq12 4655 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤ𝑙) = (ℤ𝑙) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
254252, 253sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
255 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → 𝑙 ∈ ℕ)
256 uznnssnn 11564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
257 resmpt 5353 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ𝑙) ⊆ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
258255, 256, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
259258adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
260 fconstmpt 5072 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
262254, 259, 2613eqtr4d 2650 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
263251, 262mpdan 698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
264231, 263chvarv 2246 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
265222, 264syl5eq 2652 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
266265ex 448 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = +∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
267266reximdva 2996 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
268267imp 443 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
269 xrge0topn 29120 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
27029, 269eqtri 2628 . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
271 letopon 20758 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
272 iccssxr 12080 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
273 resttopon 20714 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
274271, 272, 273mp2an 703 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
275270, 274eqeltri 2680 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
276275a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
277 0xr 9939 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
278 pnfxr 11778 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
279 0lepnf 11799 . . . . . . . . . 10 0 ≤ +∞
280 ubicc2 12113 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
281277, 278, 279, 280mp3an 1415 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0[,]+∞)
282281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
28340nnzd 11310 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
284 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
285284lmconst 20814 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
286276, 282, 283, 285syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
287 breq1 4577 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞))
288287biimprd 236 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → (((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
289286, 288mpan9 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞)
290276elfvexd 6114 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0[,]+∞) ∈ V)
291 cnex 9870 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
292291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
29356adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
294 nnsscn 10869 . . . . . . . . . 10 ℕ ⊆ ℂ
295294a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℂ)
296 elpm2r 7735 . . . . . . . . 9 ((((0[,]+∞) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ ℕ ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
297290, 292, 293, 295, 296syl22anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
298276, 297, 283lmres 20853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
299298biimpar 500 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
300289, 299syldan 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
301300r19.29an 3055 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
302268, 301syldan 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
303 nfv 1829 . . . . 5 𝑘𝜑
304 nfre1 2984 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞
305303, 304nfan 1815 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
306128a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ℕ ∈ V)
30741adantlr 746 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
308 simpr 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
309305, 306, 307, 308esumpinfval 29265 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
310302, 309breqtrrd 4602 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
311 eleq1 2672 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ ℕ))
312311anbi2d 735 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑚 ∈ ℕ)))
3137eleq1d 2668 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
314312, 313imbi12d 332 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
315314, 41chvarv 2246 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
316 eliccelico 28732 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞)))
317277, 278, 279, 316mp3an 1415 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
318315, 317sylib 206 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
319318ralrimiva 2945 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
320 r19.30 3059 . . . 4 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞) → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
321319, 320syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
3227eqeq1d 2608 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
323322cbvrexv 3144 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞)
324323orbi2i 539 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
325321, 324sylibr 222 . 2 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞))
326221, 310, 325mpjaodan 822 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  [wsb 1866  wcel 1976  wral 2892  wrex 2893  Vcvv 3169  cin 3535  wss 3536  𝒫 cpw 4104  {csn 4121   class class class wbr 4574  cmpt 4634   × cxp 5023  dom cdm 5025  ran crn 5026  cres 5027   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  Fincfn 7815  supcsup 8203  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792  +∞cpnf 9924  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928  cn 10864  cz 11207  cuz 11516  [,)cico 12001  [,]cicc 12002  ...cfz 12149  seqcseq 12615  cli 14006  Σcsu 14207  s cress 15639  t crest 15847  TopOpenctopn 15848   Σg cgsu 15867  ordTopcordt 15925  *𝑠cxrs 15926  fldccnfld 19510  TopOnctopon 20457  𝑡clm 20779  Σ*cesum 29219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-ordt 15927  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-ps 16966  df-tsr 16967  df-plusf 17007  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-mhm 17101  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-mulg 17307  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-cring 18316  df-subrg 18544  df-abv 18583  df-lmod 18631  df-scaf 18632  df-sra 18936  df-rgmod 18937  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-lm 20782  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-tmd 21625  df-tgp 21626  df-tsms 21679  df-trg 21712  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-nm 22135  df-ngp 22136  df-nrg 22138  df-nlm 22139  df-ii 22416  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-log 24021  df-esum 29220
This theorem is referenced by:  esumcvg2  29279
  Copyright terms: Public domain W3C validator