Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvgsum 29931
Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgsum.1 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐵)
esumcvgsum.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
esumcvgsum.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
esumcvgsum.4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
esumcvgsum.5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
esumcvgsum (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑘   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem esumcvgsum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcvgsum.2 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2 esumcvgsum.1 . 2 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐵)
3 simpll 789 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝜑)
4 elfznn 12312 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
54adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6 esumcvgsum.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
73, 5, 6syl2anc 692 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
8 nnuz 11667 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
98eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
109biimpi 206 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
12 mnfxr 10040 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
13 pnfxr 10036 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
14 0re 9984 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
15 mnflt 11901 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ → -∞ < 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
17 pnfge 11908 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
19 icossioo 12206 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞))
2012, 13, 16, 18, 19mp4an 708 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞)
21 ioomax 12190 . . . . . . . 8 (-∞(,)+∞) = ℝ
2220, 21sseqtri 3616 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
233, 5, 1syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2422, 23sseldi 3581 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2524recnd 10012 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
267, 11, 25fsumser 14394 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
2726mpteq2dva 4704 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
28 1z 11351 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
29 seqfn 12753 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1)
31 fneq2 5938 . . . . . . 7 (ℕ = (ℤ‘1) → (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1)))
328, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
3330, 32mpbir 221 . . . . 5 seq1( + , 𝐹) Fn ℕ
34 dffn5 6198 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
3533, 34mpbi 220 . . . 4 seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
36 seqex 12743 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
38 esumcvgsum.5 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
39 esumcvgsum.4 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
40 breldmg 5290 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4235, 41syl5eqelr 2703 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ dom ⇝ )
4327, 42eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) ∈ dom ⇝ )
441, 2, 43esumpcvgval 29921 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  cz 11321  cuz 11631  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  ...cfz 12268  seqcseq 12741  cli 14149  Σcsu 14350  Σ*cesum 29870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-ordt 16082  df-xrs 16083  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-cn 20941  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tsms 21840  df-esum 29871
This theorem is referenced by:  omssubadd  30143
  Copyright terms: Public domain W3C validator