Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfsup 29931
 Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfsup (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11358 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2 seqfn 12760 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1)
4 nnuz 11674 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
54fneq2i 5949 . . . . 5 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
63, 5mpbir 221 . . . 4 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ
7 iccssxr 12205 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
98esumfzf 29930 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
10 ovex 6638 . . . . . . . 8 (1...𝑛) ∈ V
11 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘
12 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
138, 11, 12nff 6003 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
14 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1513, 14nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
16 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
17 1nn 10982 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
18 fzssnn 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
2119, 20sseldd 3588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2216, 21ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2322ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
2415, 23ralrimi 2952 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
25 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
2625esumcl 29891 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2710, 24, 26sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
289, 27eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ (0[,]+∞))
297, 28sseldi 3585 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 2961 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
31 fnfvrnss 6351 . . . 4 ((seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
326, 30, 31sylancr 694 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
33 nnex 10977 . . . . 5 ℕ ∈ V
34 ffvelrn 6318 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3534ex 450 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
3613, 35ralrimi 2952 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3711esumcl 29891 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3833, 36, 37sylancr 694 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
397, 38sseldi 3585 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
40 fvelrnb 6205 . . . . . . . . 9 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
416, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
42 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
439eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4442, 43syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4544rexbidva 3043 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4641, 45bitr4d 271 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
4746biimpa 501 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
4833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℕ ∈ V)
4934adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
5017, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
5115, 48, 49, 50esummono 29915 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5251ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5447, 53jca 554 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
55 r19.29r 3067 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
56 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
5756biimpar 502 . . . . . 6 ((𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5857rexlimivw 3023 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5954, 55, 583syl 18 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6059ralrimiva 2961 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
61 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
6213, 61nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
63 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥
64 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘 <
6511nfesum1 29901 . . . . . . . . . . 11 𝑘Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6663, 64, 65nfbr 4664 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6762, 66nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6833a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ℕ ∈ V)
69 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
7069, 34sylancom 700 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
71 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7271rexrd 10040 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
73 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 29921 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘))
75 ssnnssfz 29409 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
76 r19.42v 3085 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ↔ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)))
77 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑎 ⊆ (1...𝑛)
7867, 77nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ∈ V)
80 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ⊆ ℕ
82 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
8381, 82sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8480, 83ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
8678, 79, 84, 85esummono 29915 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8786reximi 3006 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8876, 87sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8975, 88sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
9089ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
91 r19.29r 3067 . . . . . . . . 9 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
92 r19.42v 3085 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9392rexbii 3035 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9491, 93sylibr 224 . . . . . . . 8 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9574, 90, 94syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
96 simp-4r 806 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9796rexrd 10040 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
99 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑎
10099nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
10167, 100nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
102101, 14nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
103 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
104 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
105 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
106105sseli 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 ℕ)
107 elpwi 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑎 ⊆ ℕ)
108104, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ⊆ ℕ)
109 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
110108, 109sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘 ∈ ℕ)
111103, 110ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
112111ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑎 → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
113102, 112ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11499esumcl 29891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11598, 113, 114sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1167, 115sseldi 3585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
117 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
118 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
11981, 118sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
120117, 119ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
121120ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
122102, 121ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
12310, 122, 26sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1247, 123sseldi 3585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
125 xrltletr 11939 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12697, 116, 124, 125syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
127126reximdva 3012 . . . . . . . 8 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
128127rexlimdva 3025 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12995, 128mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
130 fvelrnb 6205 . . . . . . . . . 10 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
1316, 130mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
132 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
1339eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
134132, 133syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
135134rexbidva 3043 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
136131, 135bitr4d 271 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
137 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
138137breq2d 4630 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
13927, 136, 138rexxfr2d 4848 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
140139ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
141129, 140mpbird 247 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦)
142141ex 450 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
143142ralrimiva 2961 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
144 supxr2 12094 . . 3 (((ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1324 . 2 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
146145eqcomd 2627 1 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3189   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  ran crn 5080   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  supcsup 8297  ℝcr 9886  0cc0 9887  1c1 9888  +∞cpnf 10022  ℝ*cxr 10024   < clt 10025   ≤ cle 10026  ℕcn 10971  ℤcz 11328  ℤ≥cuz 11638   +𝑒 cxad 11895  [,]cicc 12127  ...cfz 12275  seqcseq 12748  Σ*cesum 29888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-ordt 16089  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-ps 17128  df-tsr 17129  df-plusf 17169  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-subrg 18706  df-abv 18745  df-lmod 18793  df-scaf 18794  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-tmd 21795  df-tgp 21796  df-tsms 21849  df-trg 21882  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-nm 22306  df-ngp 22307  df-nrg 22309  df-nlm 22310  df-ii 22599  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-log 24220  df-esum 29889 This theorem is referenced by:  esumfsupre  29932  esumsup  29950
 Copyright terms: Public domain W3C validator