Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfsup 29931
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfsup (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11358 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2 seqfn 12760 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1)
4 nnuz 11674 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
54fneq2i 5949 . . . . 5 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
63, 5mpbir 221 . . . 4 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ
7 iccssxr 12205 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
98esumfzf 29930 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
10 ovex 6638 . . . . . . . 8 (1...𝑛) ∈ V
11 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘
12 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
138, 11, 12nff 6003 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
14 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1513, 14nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
16 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
17 1nn 10982 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
18 fzssnn 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
2119, 20sseldd 3588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2216, 21ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2322ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
2415, 23ralrimi 2952 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
25 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
2625esumcl 29891 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2710, 24, 26sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
289, 27eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ (0[,]+∞))
297, 28sseldi 3585 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 2961 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
31 fnfvrnss 6351 . . . 4 ((seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
326, 30, 31sylancr 694 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
33 nnex 10977 . . . . 5 ℕ ∈ V
34 ffvelrn 6318 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3534ex 450 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
3613, 35ralrimi 2952 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3711esumcl 29891 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3833, 36, 37sylancr 694 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
397, 38sseldi 3585 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
40 fvelrnb 6205 . . . . . . . . 9 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
416, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
42 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
439eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4442, 43syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4544rexbidva 3043 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4641, 45bitr4d 271 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
4746biimpa 501 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
4833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℕ ∈ V)
4934adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
5017, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
5115, 48, 49, 50esummono 29915 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5251ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5447, 53jca 554 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
55 r19.29r 3067 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
56 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
5756biimpar 502 . . . . . 6 ((𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5857rexlimivw 3023 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5954, 55, 583syl 18 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6059ralrimiva 2961 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
61 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
6213, 61nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
63 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥
64 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘 <
6511nfesum1 29901 . . . . . . . . . . 11 𝑘Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6663, 64, 65nfbr 4664 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6762, 66nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6833a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ℕ ∈ V)
69 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
7069, 34sylancom 700 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
71 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7271rexrd 10040 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
73 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 29921 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘))
75 ssnnssfz 29409 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
76 r19.42v 3085 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ↔ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)))
77 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑎 ⊆ (1...𝑛)
7867, 77nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ∈ V)
80 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ⊆ ℕ
82 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
8381, 82sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8480, 83ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
8678, 79, 84, 85esummono 29915 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8786reximi 3006 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8876, 87sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8975, 88sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
9089ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
91 r19.29r 3067 . . . . . . . . 9 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
92 r19.42v 3085 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9392rexbii 3035 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9491, 93sylibr 224 . . . . . . . 8 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9574, 90, 94syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
96 simp-4r 806 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9796rexrd 10040 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
99 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑎
10099nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
10167, 100nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
102101, 14nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
103 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
104 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
105 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
106105sseli 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 ℕ)
107 elpwi 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑎 ⊆ ℕ)
108104, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ⊆ ℕ)
109 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
110108, 109sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘 ∈ ℕ)
111103, 110ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
112111ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑎 → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
113102, 112ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11499esumcl 29891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11598, 113, 114sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1167, 115sseldi 3585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
117 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
118 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
11981, 118sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
120117, 119ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
121120ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
122102, 121ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
12310, 122, 26sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1247, 123sseldi 3585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
125 xrltletr 11939 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12697, 116, 124, 125syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
127126reximdva 3012 . . . . . . . 8 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
128127rexlimdva 3025 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12995, 128mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
130 fvelrnb 6205 . . . . . . . . . 10 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
1316, 130mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
132 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
1339eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
134132, 133syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
135134rexbidva 3043 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
136131, 135bitr4d 271 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
137 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
138137breq2d 4630 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
13927, 136, 138rexxfr2d 4848 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
140139ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
141129, 140mpbird 247 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦)
142141ex 450 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
143142ralrimiva 2961 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
144 supxr2 12094 . . 3 (((ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1324 . 2 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
146145eqcomd 2627 1 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnfc 2748  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  ran crn 5080   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  supcsup 8297  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888  +∞cpnf 10022  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  cn 10971  cz 11328  cuz 11638   +𝑒 cxad 11895  [,]cicc 12127  ...cfz 12275  seqcseq 12748  Σ*cesum 29888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-ordt 16089  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-ps 17128  df-tsr 17129  df-plusf 17169  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-subrg 18706  df-abv 18745  df-lmod 18793  df-scaf 18794  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-tmd 21795  df-tgp 21796  df-tsms 21849  df-trg 21882  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-nm 22306  df-ngp 22307  df-nrg 22309  df-nlm 22310  df-ii 22599  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-log 24220  df-esum 29889
This theorem is referenced by:  esumfsupre  29932  esumsup  29950
  Copyright terms: Public domain W3C validator