Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumgsum 31203
Description: A finite extended sum is the group sum over the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumgsum.1 𝑘𝜑
esumgsum.2 𝑘𝐴
esumgsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumgsum.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumgsum (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))

Proof of Theorem esumgsum
StepHypRef Expression
1 esumgsum.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumgsum.2 . 2 𝑘𝐴
3 esumgsum.3 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 esumgsum.4 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 xrge0base 30599 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge00 30600 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 xrge0cmn 20515 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
9 xrge0tps 31084 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
11 nfcv 2974 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
12 eqid 2818 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
131, 2, 11, 4, 12fmptdF 30329 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
144ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
151, 14ralrimi 3213 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
162fnmptf 6477 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
18 0xr 10676 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
2017, 3, 19fndmfifsupp 8834 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
215, 6, 8, 10, 3, 13, 20tsmsid 22675 . 2 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
221, 2, 3, 4, 21esumid 31202 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  wral 3135  cmpt 5137   Fn wfn 6343  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  [,]cicc 12729  s cress 16472   Σg cgsu 16702  *𝑠cxrs 16761  CMndccmn 18835  TopSpctps 21468  Σ*cesum 31185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-haus 21851  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tsms 22662  df-esum 31186
This theorem is referenced by:  esum2d  31251
  Copyright terms: Public domain W3C validator