Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumnul 29883
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1727 . . . 4 𝑥
2 nfcv 2767 . . . 4 𝑥
3 0ex 4755 . . . . 5 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
5 ral0 4053 . . . . . 6 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
76r19.21bi 2932 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8 pw0 4316 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ∅ = {∅}
98ineq1i 3793 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = ({∅} ∩ Fin)
10 0fin 8133 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
11 snssi 4313 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ Fin → {∅} ⊆ Fin)
12 df-ss 3574 . . . . . . . . . . . . . 14 ({∅} ⊆ Fin ↔ ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1311, 12sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∩ Fin) = {∅}
159, 14eqtri 2648 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = {∅}
1615eleq2i 2696 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ 𝑦 ∈ {∅})
17 velsn 4169 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {∅} ↔ 𝑦 = ∅)
1816, 17sylbb 209 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑦 = ∅)
1918mpteq1d 4703 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
20 mpt0 5980 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
2119, 20syl6eq 2676 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = ∅)
2221oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
23 xrge00 29463 . . . . . . 7 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2423gsum0 17194 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
2522, 24syl6eq 2676 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
2625adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
271, 2, 4, 7, 26esumval 29881 . . 3 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
2827trud 1490 . 2 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < )
29 fconstmpt 5128 . . . . 5 ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3029eqcomi 2635 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0})
31 0xr 10031 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3231rgenw 2924 . . . . . 6 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
33 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3433fnmpt 5979 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin))
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin)
363snnz 4284 . . . . . 6 {∅} ≠ ∅
3715, 36eqnetri 2866 . . . . 5 (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅
38 fconst5 6426 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
3935, 37, 38mp2an 707 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
4030, 39mpbi 220 . . 3 ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
4140supeq1i 8298 . 2 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
42 xrltso 11918 . . 3 < Or ℝ*
43 supsn 8323 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4442, 31, 43mp2an 707 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4528, 41, 443eqtri 2652 1 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  cmpt 4678   Or wor 4999   × cxp 5077  ran crn 5080   Fn wfn 5845  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  supcsup 8291  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  [,]cicc 12117  s cress 15777   Σg cgsu 16017  *𝑠cxrs 16076  Σ*cesum 29862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-xadd 11891  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-ordt 16077  df-xrs 16078  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-ps 17116  df-tsr 17117  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-ntr 20729  df-nei 20807  df-cn 20936  df-haus 21024  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-tsms 21835  df-esum 29863
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  29903  esum2dlem  29927  ddemeas  30072  carsgclctunlem1  30152
  Copyright terms: Public domain W3C validator