Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvalf 29916
Description: Same as esumpfinval 29915, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1 𝑘𝐴
esumpfinvalf.2 𝑘𝜑
esumpfinvalf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumpfinvalf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 29868 . . . 4 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 xrge0base 29467 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3 xrge00 29468 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 19707 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 29767 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7 𝑘𝐴
11 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘(0[,]+∞)
12 icossicc 12202 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sseldi 3581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 29295 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
17 c0ex 9978 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
1916, 8, 18fdmfifsupp 8229 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
20 xrge0topn 29768 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2120eqcomi 2630 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
22 xrhaus 29376 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
23 ovex 6632 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
24 resthaus 21082 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2522, 23, 24mp2an 707 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 21854 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
2827unieqd 4412 . . . 4 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
291, 28syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
30 ovex 6632 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ V
3130unisn 4417 . . 3 {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))} = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))
3229, 31syl6eq 2671 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
33 nfcv 2761 . . . 4 𝑘(0[,)+∞)
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 29295 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
35 esumpfinvallem 29914 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
368, 34, 35syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
37 rge0ssre 12222 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
38 ax-resscn 9937 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3937, 38sstri 3592 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4039, 13sseldi 3581 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140sbt 2418 . . . . 5 [𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
42 sbim 2394 . . . . . 6 ([𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) → [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ))
43 sban 2398 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) ↔ ([𝑙 / 𝑘]𝜑 ∧ [𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴))
449sbf 2379 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / 𝑘]𝜑𝜑)
4510clelsb3f 29166 . . . . . . . . 9 ([𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴𝑙𝐴)
4644, 45anbi12i 732 . . . . . . . 8 (([𝑙 / 𝑘]𝜑 ∧ [𝑙 / 𝑘]𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴))
4743, 46bitri 264 . . . . . . 7 ([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴))
48 sbsbc 3421 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ)
49 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑙 ∈ V
50 sbcel1g 3959 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5248, 51bitri 264 . . . . . . 7 ([𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5347, 52imbi12i 340 . . . . . 6 (([𝑙 / 𝑘](𝜑𝑘𝐴) → [𝑙 / 𝑘]𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5442, 53bitri 264 . . . . 5 ([𝑙 / 𝑘]((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5541, 54mpbi 220 . . . 4 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
568, 55gsumfsum 19732 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵)) = Σ𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐵)
57 nfcv 2761 . . . . 5 𝑙𝐴
58 nfcv 2761 . . . . 5 𝑙𝐵
59 nfcsb1v 3530 . . . . 5 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
60 csbeq1a 3523 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6110, 57, 58, 59, 60cbvmptf 4708 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵)
6261oveq2i 6615 . . 3 (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑙𝐴𝑙 / 𝑘𝐵))
6360, 57, 10, 58, 59cbvsum 14359 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐵
6456, 62, 633eqtr4g 2680 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
6532, 36, 643eqtr2d 2661 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  [wsb 1877  wcel 1987  wnfc 2748  Vcvv 3186  [wsbc 3417  csb 3514  {csn 4148   cuni 4402  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  cle 10019  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  Σcsu 14350  s cress 15782  t crest 16002  TopOpenctopn 16003   Σg cgsu 16022  ordTopcordt 16080  *𝑠cxrs 16081  CMndccmn 18114  fldccnfld 19665  TopSpctps 20619  Hauscha 21022   tsums ctsu 21839  Σ*cesum 29867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-ordt 16082  df-xrs 16083  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tsms 21840  df-esum 29868
This theorem is referenced by:  volfiniune  30071
  Copyright terms: Public domain W3C validator