Theorem esumpinfsum 30448

Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfsum.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumpinfsum.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumpinfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpinfsum.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
esumpinfsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
esumpinfsum.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
esumpinfsum.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
esumpinfsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑉   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12449	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumpinfsum.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpinfsum.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		esumpinfsum.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	4	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6	3, 5	ralrimi 3095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7		esumpinfsum.a	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	esumcl 30401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9	2, 6, 8	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sseldi 3742	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11		esumpinfsum.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
12		esumpinfsum.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		0xr 10278	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrltle 12175	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
15	13, 11, 14	sylancr 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
16	12, 15	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17		pnfge 12157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
19		pnfxr 10284	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
20		elicc1 12412	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞)))
21	13, 19, 20	mp2an 710	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞))
22	11, 16, 18, 21	syl3anbrc 1429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
24	7, 23	esumcst 30434	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
25	2, 22, 24	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
26		esumpinfsum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27		hashinf 13316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 26, 27	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = +∞)
29	28	oveq1d 6828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ·e 𝑀) = (+∞ ·e 𝑀))
30		xmulpnf2 12298	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑀) → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
31	11, 12, 30	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
32	25, 29, 31	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = +∞)
33	22	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
34		esumpinfsum.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
35	3, 7, 2, 33, 4, 34	esumlef 30433	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
36	32, 35	eqbrtrrd 4828	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
37		xgepnf 12189	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
38	37	biimpd 219	. 2 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
39	10, 36, 38	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2139  Ⅎwnfc 2889  ∀wral 3050   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   ·_e cxmu 12138  [,]cicc 12371  ♯chash 13311  Σ^*cesum 30398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399

This theorem is referenced by:  hasheuni  30456