Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpmono 30126
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
esumpmono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
esumpmono.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpmono (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12253 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 ovexd 6677 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ V)
3 elfznn 12367 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
4 icossicc 12257 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5 esumpmono.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
64, 5sseldi 3599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
73, 6sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
87ralrimiva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9 nfcv 2763 . . . . . . 7 𝑘(1...𝑀)
109esumcl 30077 . . . . . 6 (((1...𝑀) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
112, 8, 10syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121, 11sseldi 3599 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ*)
13 xrleid 11980 . . . 4 *𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
15 ovexd 6677 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V)
16 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
18 peano2nn 11029 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
19 nnuz 11720 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2018, 19syl6eleq 2710 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
21 fzss1 12377 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
2217, 20, 213syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
23 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2422, 23sseldd 3602 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
25 elfznn 12367 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2726, 6syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2827ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29 nfcv 2763 . . . . . 6 𝑘((𝑀 + 1)...𝑁)
3029esumcl 30077 . . . . 5 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3115, 28, 30syl2anc 693 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
32 elxrge0 12278 . . . . 5 *𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
3332simprbi 480 . . . 4 *𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
3431, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
35 0xr 10083 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
371, 31sseldi 3599 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)
38 xle2add 12086 . . . 4 (((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)) → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
3912, 36, 12, 37, 38syl22anc 1326 . . 3 (𝜑 → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
4014, 34, 39mp2and 715 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
41 xaddid1 12069 . . . 4 *𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
4212, 41syl 17 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
4342eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0))
4416, 19syl6eleq 2710 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
45 esumpmono.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
46 eluzfz 12334 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
4744, 45, 46syl2anc 693 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
48 fzsplit 12364 . . . 4 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
49 esumeq1 30081 . . . 4 ((1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
5047, 48, 493syl 18 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
51 nfv 1842 . . . 4 𝑘𝜑
52 nnre 11024 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5352ltp1d 10951 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 < (𝑀 + 1))
54 fzdisj 12365 . . . . 5 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
5516, 53, 543syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
5651, 9, 29, 2, 15, 55, 7, 27esumsplit 30100 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
5750, 56eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
5840, 43, 573brtr4d 4683 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  Vcvv 3198  cun 3570  cin 3571  wss 3572  c0 3913   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936  +∞cpnf 10068  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  cn 11017  cuz 11684   +𝑒 cxad 11941  [,)cico 12174  [,]cicc 12175  ...cfz 12323  Σ*cesum 30074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-ordt 16155  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-ps 17194  df-tsr 17195  df-plusf 17235  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-mhm 17329  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-mulg 17535  df-subg 17585  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-subrg 18772  df-abv 18811  df-lmod 18859  df-scaf 18860  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-tmd 21870  df-tgp 21871  df-tsms 21924  df-trg 21957  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-nm 22381  df-ngp 22382  df-nrg 22384  df-nlm 22385  df-ii 22674  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625  df-log 24297  df-esum 30075
This theorem is referenced by:  esumcvg  30133
  Copyright terms: Public domain W3C validator