Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpr 30437
 Description: Extended sum over a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpr.1 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
esumpr.2 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
esumpr.3 (𝜑𝐴𝑉)
esumpr.4 (𝜑𝐵𝑊)
esumpr.5 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.7 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumpr (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4324 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2 esumeq1 30405 . . 3 ({𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
31, 2mp1i 13 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
4 nfv 1992 . . 3 𝑘𝜑
5 nfcv 2902 . . 3 𝑘{𝐴}
6 nfcv 2902 . . 3 𝑘{𝐵}
7 snex 5057 . . . 4 {𝐴} ∈ V
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
9 snex 5057 . . . 4 {𝐵} ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
11 esumpr.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
12 disjsn2 4391 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
14 elsni 4338 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
15 esumpr.1 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
1614, 15sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐷)
17 esumpr.5 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
1817adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
1916, 18eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
20 elsni 4338 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
21 esumpr.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
2220, 21sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐸)
23 esumpr.6 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
2423adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
2522, 24eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
264, 5, 6, 8, 10, 13, 19, 25esumsplit 30424 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27 esumpr.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2815, 27, 17esumsn 30436 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
29 esumpr.4 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
3021, 29, 23esumsn 30436 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
3128, 30oveq12d 6831 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
323, 26, 313eqtrd 2798 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263   +𝑒 cxad 12137  [,]cicc 12371  Σ*cesum 30398 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399 This theorem is referenced by:  esumpr2  30438  carsgsigalem  30686  pmeasmono  30695  probun  30790
 Copyright terms: Public domain W3C validator