Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etasslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etasslt 32247
Description: A restatement of noeta 32195 using set less than. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
etasslt (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem etasslt
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 32230 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
2 ssltex1 32228 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssltss2 32231 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
4 ssltex2 32229 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 ∈ V)
5 ssltsep 32232 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
6 noeta 32195 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
71, 2, 3, 4, 5, 6syl221anc 1488 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
8 brsslt 32227 . . . . . 6 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
9 df-3an 1074 . . . . . . 7 ((𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ((𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
109bianass 877 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)) ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
118, 10bitri 264 . . . . 5 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
122adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐴 ∈ V)
13 snex 5057 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ V
1412, 13jctir 562 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V))
151adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐴 No )
16 snssi 4484 . . . . . . . . . 10 (𝑥 No → {𝑥} ⊆ No )
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → {𝑥} ⊆ No )
1814, 15, 17jca32 559 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )))
1918biantrurd 530 . . . . . . 7 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
2019bicomd 213 . . . . . 6 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
21 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
22 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥))
2321, 22ralsn 4366 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥)
2423ralbii 3118 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
2520, 24syl6bb 276 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥))
2611, 25syl5bb 272 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥))
27 brsslt 32227 . . . . . . 7 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
28 df-3an 1074 . . . . . . . 8 (({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ↔ (({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
2928bianass 877 . . . . . . 7 ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)) ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
3027, 29bitri 264 . . . . . 6 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
314adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐵 ∈ V)
3231, 13jctil 561 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
333adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐵 No )
3432, 17, 33jca32 559 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )))
3534biantrurd 530 . . . . . . 7 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
3635bicomd 213 . . . . . 6 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
3730, 36syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
38 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑥 <s 𝑧))
3938ralbidv 3124 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
4021, 39ralsn 4366 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
4137, 40syl6bb 276 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
4226, 413anbi12d 1549 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))) ↔ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵)))))
4342rexbidva 3187 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → (∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))) ↔ ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵)))))
447, 43mpbird 247 1 (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715  {csn 4321   cuni 4588   class class class wbr 4804  cima 5269  suc csuc 5886  cfv 6049   No csur 32120   <s cslt 32121   bday cbday 32122   <<s csslt 32223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-1o 7730  df-2o 7731  df-no 32123  df-slt 32124  df-bday 32125  df-sslt 32224
This theorem is referenced by:  scutbdaybnd  32248
  Copyright terms: Public domain W3C validator