Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem14 39772
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem14.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem14.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem14 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14
StepHypRef Expression
1 etransclem14.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
2 etransclem14.cpm1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3 fzssre 38993 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℝ
4 etransclem14.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5 etransclem14.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
75, 6syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
8 eluzfz1 12290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 9ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
113, 10sseldi 3581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
122, 11eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1311, 12lttri3d 10121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
142, 13mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
1514simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
1615iffalsed 4069 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
1712recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
182eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
1917, 18subeq0bd 10400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
2019fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21 fac0 13003 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
2220, 21syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
2322oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24 etransclem14.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
25 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2726faccld 13011 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2827nncnd 10980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
2928div1d 10737 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3023, 29eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31 etransclem14.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 = 0)
3231, 19oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33 0exp0e1 12805 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
3432, 33syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
3530, 34oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
3628mulid1d 10001 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3716, 35, 363eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
3831oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
39 df-neg 10213 . . . . . . . . 9 -𝑗 = (0 − 𝑗)
4038, 39syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝑗) = -𝑗)
4140oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))
4241oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))
4342ifeq2d 4077 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4443prodeq2ad 39228 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4537, 44oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
4645oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
471, 46syl5eq 2667 1 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4058   class class class wbr 4613  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  !cfa 13000  cprod 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-prod 14561
This theorem is referenced by:  etransclem28  39786
  Copyright terms: Public domain W3C validator