Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem18 38946
Description: The given function is integrable . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem18.s (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
etransclem18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12083 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3 ioombl 23054 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5 ere 14601 . . . . . 6 e ∈ ℝ
65recni 9905 . . . . 5 e ∈ ℂ
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8 etransclem18.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 etransclem18.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
108, 9iccssred 38375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1110sselda 3564 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 9921 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312negcld 10227 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
147, 13cxpcld 24168 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15 etransclem18.s . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16 etransclem18.x . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1715, 16dvdmsscn 38627 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 etransclem18.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
19 etransclem18.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
2017, 18, 19etransclem8 38936 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
2120adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2221, 11ffvelrnd 6250 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2314, 22mulcld 9913 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
24 eqidd 2607 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25 oveq2 6532 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
2625adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
2710, 17sstrd 3574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
2827sselda 3564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2928negcld 10227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
306a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31 negcl 10129 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
3230, 31cxpcld 24168 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
3328, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
3424, 26, 29, 33fvmptd 6179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
3534eqcomd 2612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
3635mpteq2dva 4663 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37 epr 14718 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
38 mnfxr 11780 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40 0red 9894 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41 rpxr 11669 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42 rpgt0 11673 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
4339, 40, 41, 42gtnelioc 38360 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45 eldif 3546 . . . . . . . 8 (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
466, 44, 45mpbir2an 956 . . . . . . 7 e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47 cxpcncf2 38587 . . . . . . 7 (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4846, 47mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
5049negcncf 22457 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5127, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5248, 51cncfmpt1f 22452 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5336, 52eqeltrd 2684 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54 ax-resscn 9846 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
5618adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57 etransclem18.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5857adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59 etransclem6 38934 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑘)↑𝑃)))
6019, 59eqtri 2628 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑘)↑𝑃)))
6155, 56, 58, 60, 11etransclem13 38941 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
6261mpteq2dva 4663 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63 fzfid 12586 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64123adant3 1073 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65 elfzelz 12165 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
6665zcnd 11312 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67663ad2ant3 1076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6864, 67subcld 10240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
69 nnm1nn0 11178 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7018, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7118nnnn0d 11195 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7270, 71ifcld 4077 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73723ad2ant1 1074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
7468, 73expcld 12822 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀))
76 ssid 3583 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7827, 77idcncfg 38558 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7978adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8027adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
8166adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
8276a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
8380, 81, 82constcncfg 38557 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8479, 83subcncf 38555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85 expcncf 22461 . . . . . . . . 9 (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8672, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8786adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88 oveq1 6531 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
8975, 84, 87, 82, 88cncfcompt2 38586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9027, 63, 74, 89fprodcncf 38588 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9162, 90eqeltrd 2684 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9253, 91mulcncf 22937 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93 cniccibl 23327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
948, 9, 92, 93syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
952, 4, 23, 94iblss 23291 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3533  wss 3536  ifcif 4032  {cpr 4123  cmpt 4634  dom cdm 5025  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   · cmul 9794  -∞cmnf 9925  *cxr 9926  cmin 10114  -cneg 10115  cn 10864  0cn0 11136  +crp 11661  (,)cioo 11999  (,]cioc 12000  [,]cicc 12002  ...cfz 12149  cexp 12674  cprod 14417  eceu 14575  t crest 15847  TopOpenctopn 15848  fldccnfld 19510  cnccncf 22415  volcvol 22953  𝐿1cibl 23106  𝑐ccxp 24020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cc 9114  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-ofr 6770  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-acn 8625  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-prod 14418  df-ef 14580  df-e 14581  df-sin 14582  df-cos 14583  df-tan 14584  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-cmp 20939  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-ovol 22954  df-vol 22955  df-mbf 23108  df-itg1 23109  df-itg2 23110  df-ibl 23111  df-0p 23157  df-limc 23350  df-dv 23351  df-log 24021  df-cxp 24022
This theorem is referenced by:  etransclem23  38951  etransclem46  38974
  Copyright terms: Public domain W3C validator