Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem18 40232
Description: The given function is integrable . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem18.s (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
etransclem18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12244 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3 ioombl 23314 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5 ere 14800 . . . . . 6 e ∈ ℝ
65recni 10037 . . . . 5 e ∈ ℂ
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8 etransclem18.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 etransclem18.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
108, 9iccssred 39530 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1110sselda 3595 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 10053 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312negcld 10364 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
147, 13cxpcld 24435 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15 etransclem18.s . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16 etransclem18.x . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1715, 16dvdmsscn 39914 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 etransclem18.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
19 etransclem18.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
2017, 18, 19etransclem8 40222 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2221, 11ffvelrnd 6346 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2314, 22mulcld 10045 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
24 eqidd 2621 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25 oveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
2710, 17sstrd 3605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
2827sselda 3595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2928negcld 10364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
306a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31 negcl 10266 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
3230, 31cxpcld 24435 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
3328, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
3424, 26, 29, 33fvmptd 6275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
3534eqcomd 2626 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
3635mpteq2dva 4735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37 epr 14917 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
38 mnfxr 10081 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40 0red 10026 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41 rpxr 11825 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42 rpgt0 11829 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
4339, 40, 41, 42gtnelioc 39515 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45 eldif 3577 . . . . . . . 8 (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
466, 44, 45mpbir2an 954 . . . . . . 7 e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47 cxpcncf2 39876 . . . . . . 7 (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4846, 47mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
5049negcncf 22702 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5127, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5248, 51cncfmpt1f 22697 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5336, 52eqeltrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54 ax-resscn 9978 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
5618adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57 etransclem18.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5857adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59 etransclem6 40220 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑘)↑𝑃)))
6019, 59eqtri 2642 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑘)↑𝑃)))
6155, 56, 58, 60, 11etransclem13 40227 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
6261mpteq2dva 4735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63 fzfid 12755 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64123adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65 elfzelz 12327 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
6665zcnd 11468 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67663ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6864, 67subcld 10377 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
69 nnm1nn0 11319 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7018, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7118nnnn0d 11336 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7270, 71ifcld 4122 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73723ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
7468, 73expcld 12991 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75 nfv 1841 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀))
76 ssid 3616 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7827, 77idcncfg 39848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7978adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8027adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
8166adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
8276a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
8380, 81, 82constcncfg 39847 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8479, 83subcncf 39845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85 expcncf 22706 . . . . . . . . 9 (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8672, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
8975, 84, 87, 82, 88cncfcompt2 39875 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9027, 63, 74, 89fprodcncf 39877 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9162, 90eqeltrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9253, 91mulcncf 23196 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93 cniccibl 23588 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
948, 9, 92, 93syl3anc 1324 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
952, 4, 23, 94iblss 23552 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  wss 3567  ifcif 4077  {cpr 4170  cmpt 4720  dom cdm 5104  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  -∞cmnf 10057  *cxr 10058  cmin 10251  -cneg 10252  cn 11005  0cn0 11277  +crp 11817  (,)cioo 12160  (,]cioc 12161  [,]cicc 12163  ...cfz 12311  cexp 12843  cprod 14616  eceu 14774  t crest 16062  TopOpenctopn 16063  fldccnfld 19727  cnccncf 22660  volcvol 23213  𝐿1cibl 23367  𝑐ccxp 24283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-prod 14617  df-ef 14779  df-e 14780  df-sin 14781  df-cos 14782  df-tan 14783  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-itg1 23370  df-itg2 23371  df-ibl 23372  df-0p 23418  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-cxp 24285
This theorem is referenced by:  etransclem23  40237  etransclem46  40260
  Copyright terms: Public domain W3C validator