Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem28 39783
Description: (𝑃 − 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem28.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem28.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem28.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem28.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
etransclem28.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem28.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
Assertion
Ref Expression
etransclem28 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑗,𝐽   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝑇(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
43faccld 13011 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
54nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
108, 9etransclem12 39767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
117, 10eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
12 fveq1 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
1312sumeq2ad 39198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1413eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1514elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1615simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1817eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1918fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
2019oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
21 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝐷
22 fzfid 12712 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
23 nn0ex 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
24 fzssnn0 38994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → (0...𝑁) ⊆ ℕ0)
26 mapss 7844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2723, 25, 26sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
28 elrabi 3342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2927, 28sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝐷 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
3121, 22, 30mccl 39231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
3220, 31eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
3332nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
35 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 = 0 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
36 df-neg 10213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑗 = (0 − 𝑗)
3735, 36syl6reqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 = 0 → -𝑗 = (𝐽𝑗))
3837oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 = 0 → (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))
3938oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 = 0 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
4039ifeq2d 4077 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 0 → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4140prodeq2ad 39225 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = 0 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4241adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
44 elmapi 7823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
471, 45, 46etransclem7 39762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4942, 48eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
506, 49zmulcld 11432 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ)
516, 34, 503jca 1240 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ))
52 dvdsmul1 14927 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
536, 49, 52syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
54 dvdsmultr2 14945 . . . . . . 7 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))))
5551, 53, 54sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
5655adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
571ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
58 etransclem28.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5958ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6045ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
61 eqid 2621 . . . . . 6 (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
62 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
63 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 39769 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
6556, 64breqtrrd 4641 . . . 4 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
66 dvds0 14921 . . . . . . 7 ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
675, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
6867ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
691ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7058ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
719ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7245ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
73 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
74 neqne 2798 . . . . . . 7 (¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
7574adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 39770 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = 0)
7768, 76breqtrrd 4641 . . . 4 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
7865, 77pm2.61dan 831 . . 3 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
791nnzd 11425 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
80 elfznn0 12374 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
8281nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 39781 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
845, 79, 833jca 1240 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ))
8584adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ))
861nncnd 10980 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
87 1cnd 10000 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8886, 87npcand 10340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8988eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
9089fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
91 facp1 13005 . . . . . . . 8 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
923, 91syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
9388oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
9490, 92, 933eqtrrd 2660 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (!‘𝑃))
9594adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (!‘𝑃))
961adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
9758adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
989adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9945adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10017adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
101 1zzd 11352 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
10258nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
103102adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
10482adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
105101, 103, 1043jca 1240 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
10681adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
107 neqne 2798 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
108107adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ≠ 0)
109 elnnne0 11250 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
110106, 108, 109sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
111110nnge1d 11007 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
112 elfzle2 12287 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽𝑀)
11346, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽𝑀)
114113adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽𝑀)
115105, 111, 114jca32 557 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑀)))
116 elfz2 12275 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑀)))
117115, 116sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
11896, 97, 98, 99, 100, 61, 117etransclem25 39780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
11995, 118eqbrtrd 4635 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
120 muldvds1 14930 . . . 4 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ) → (((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))))
12185, 119, 120sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
12278, 121pm2.61dan 831 . 2 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
123 etransclem28.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
124122, 123syl6breqr 4655 1 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  cexp 12800  !cfa 13000  Σcsu 14350  cprod 14560  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-prod 14561  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  etransclem37  39792  etransclem38  39793
  Copyright terms: Public domain W3C validator