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Theorem etransclem35 39793
Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is case 2 of the proof in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem35.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem35.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem35.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem35.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem35.d 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
Assertion
Ref Expression
etransclem35 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem35
Dummy variables 𝐴 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9972 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 reopn 38965 . . . . 5 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
4 eqid 2621 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54tgioo2 22514 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
63, 5eleqtri 2696 . . . 4 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8 etransclem35.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 etransclem35.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
10 etransclem35.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
11 nnm1nn0 11278 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
128, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
13 etransclem5 39763 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14 etransclem35.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
15 0red 9985 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
162, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15etransclem31 39789 . 2 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
17 nfv 1840 . . 3 𝑐𝜑
18 nfcv 2761 . . 3 𝑐(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
1914, 12etransclem16 39774 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
2114, 12etransclem12 39770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
2320, 22eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
24 rabid 3106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)))
2523, 24sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)))
2625simprd 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
2726eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 1) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
2827fveq2d 6152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 1)) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)))
2928oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))))
30 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑗𝑐
31 fzfid 12712 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (0...𝑀) ∈ Fin)
32 nn0ex 11242 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
33 fzssnn0 38997 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ0
34 mapss 7844 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ0) → ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
3532, 33, 34mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀))
3625simpld 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)))
3735, 36sseldi 3581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
3830, 31, 37mccl 39234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3929, 38eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
4039nnzd 11425 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℤ)
418adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
429adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
43 elmapi 7823 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
4436, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
45 0zd 11333 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
4641, 42, 44, 45etransclem10 39768 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
47 fzfid 12712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (1...𝑀) ∈ Fin)
488ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4944adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
50 fz1ssfz0 38988 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
5150sseli 3579 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5251adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
53 0zd 11333 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
5448, 49, 52, 53etransclem3 39761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5547, 54fprodzcl 14609 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5646, 55zmulcld 11432 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) ∈ ℤ)
5740, 56zmulcld 11432 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
5857zcnd 11427 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℂ)
59 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
6012, 59syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
61 eluzfz2 12291 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
63 eluzfz1 12290 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6562, 64ifcld 4103 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6665adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
67 etransclem35.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
6866, 67fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
69 ovex 6632 . . . . . . 7 (0...(𝑃 − 1)) ∈ V
70 ovex 6632 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ V
7169, 70elmap 7830 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
7268, 71sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)))
739, 59syl6eleq 2708 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
74 fzsscn 38990 . . . . . . . 8 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℂ
7568ffvelrnda 6315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
7674, 75sseldi 3581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
77 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
7873, 76, 77fsum1p 14412 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)))
7967a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0)))
80 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
8180iftrued 4066 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = (𝑃 − 1))
82 eluzfz1 12290 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
8373, 82syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
8479, 81, 83, 12fvmptd 6245 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
85 0p1e1 11076 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
8685oveq1i 6614 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
8786sumeq1i 14362 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗)
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗))
8967fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
9051, 65, 89syl2anr 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
91 0red 9985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
92 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
93 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
9493zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
95 0lt1 10494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
97 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
9891, 92, 94, 96, 97ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
9991, 98gtned 10116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
10099neneqd 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
101100iffalsed 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
102101adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
10390, 102eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = 0)
104103sumeq2dv 14367 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
105 fzfi 12711 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ∈ Fin
106105olci 406 . . . . . . . . 9 ((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
107 sumz 14386 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
10988, 104, 1083eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
11084, 109oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
1118nncnd 10980 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
112 1cnd 10000 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
113111, 112subcld 10336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
114113addid1d 10180 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
11578, 110, 1143eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1))
116 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
117116sumeq2ad 39201 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
118117eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1) ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1)))
119118elrab 3346 . . . . 5 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1)))
12072, 115, 119sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
121120, 21eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
122116fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑐𝑗)) = (!‘(𝐷𝑗)))
123122prodeq2ad 39228 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)))
124123oveq2d 6620 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
125 fveq1 6147 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘0) = (𝐷‘0))
126125breq2d 4625 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) < (𝑐‘0) ↔ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
127125oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
128127fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
129128oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
130127oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
131129, 130oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
132126, 131ifbieq2d 4083 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))))
133116breq2d 4625 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷𝑗)))
134116oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝐷𝑗)))
135134fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))))
136135oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
137134oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))) = ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))
138136, 137oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
139133, 138ifbieq2d 4083 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
140139prodeq2ad 39228 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
141132, 140oveq12d 6622 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
142124, 141oveq12d 6622 . . 3 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
14317, 18, 19, 58, 121, 142fsumsplit1 39208 . 2 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))))
14433, 75sseldi 3581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℕ0)
145144faccld 13011 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) ∈ ℕ)
146145nncnd 10980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) ∈ ℂ)
14777fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 → (!‘(𝐷𝑗)) = (!‘(𝐷‘0)))
14873, 146, 147fprod1p 14623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
14984fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝐷‘0)) = (!‘(𝑃 − 1)))
15086prodeq1i 14573 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)))
152103fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) = (!‘0))
153 fac0 13003 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘0) = 1
154152, 153syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) = 1)
155154prodeq2dv 14578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1)
156 prod1 14599 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
157106, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
158151, 155, 1573eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = 1)
159149, 158oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
16012faccld 13011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
161160nncnd 10980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
162161mulid1d 10001 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
163148, 159, 1623eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = (!‘(𝑃 − 1)))
164163oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))))
165160nnne0d 11009 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
166161, 165dividd 10743 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))) = 1)
167164, 166eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = 1)
16812nn0red 11296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
16984, 168eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
170169, 168lttri3d 10121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
17184, 170mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
172171simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
173172iffalsed 4069 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
17484eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐷‘0))
175113, 174subeq0bd 10400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
176175fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
177176, 153syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
178177oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
179161div1d 10737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
180178, 179eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
181175oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑0))
182 0cnd 9977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
183182exp0d 12942 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑0) = 1)
184181, 183eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
185180, 184oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
186173, 185, 1623eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
187 fzssre 38993 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℝ
18868adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
18951adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
190188, 189ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
191187, 190sseldi 3581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℝ)
1928nnred 10979 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
193192adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
1948nngt0d 11008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑃)
19515, 192, 194ltled 10129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
196195adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ 𝑃)
197103, 196eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ≤ 𝑃)
198191, 193, 197lensymd 10132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ 𝑃 < (𝐷𝑗))
199198iffalsed 4069 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
200103oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = (𝑃 − 0))
201111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
202201subid1d 10325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 0) = 𝑃)
203200, 202eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = 𝑃)
204203fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (!‘𝑃))
205204oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)))
2068nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
207206faccld 13011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
208207nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
209207nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑃) ≠ 0)
210208, 209dividd 10743 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
211210adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
212205, 211eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = 1)
213 df-neg 10213 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑗 = (0 − 𝑗)
214213eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 𝑗) = -𝑗
215214a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (0 − 𝑗) = -𝑗)
216215, 203oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (-𝑗𝑃))
217212, 216oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (1 · (-𝑗𝑃)))
21893znegcld 11428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
219218zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
220219adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
221206adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
222220, 221expcld 12948 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
223222mulid2d 10002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1 · (-𝑗𝑃)) = (-𝑗𝑃))
224199, 217, 2233eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (-𝑗𝑃))
225224prodeq2dv 14578 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))
226186, 225oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
227167, 226oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))))
228 fzfid 12712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
229 zexpcl 12815 . . . . . . . . . 10 ((-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
230218, 206, 229syl2anr 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
231228, 230fprodzcl 14609 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
232231zcnd 11427 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
233161, 232mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) ∈ ℂ)
234233mulid2d 10002 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
235227, 234eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
236 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
23783adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ (0...𝑀))
23844, 237ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
239236, 238sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
240187, 239sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℝ)
241168adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
242 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
243239, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
244240, 241, 243lensymd 10132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝑐‘0))
245244iffalsed 4069 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
24612nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
247246adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248239elfzelzd 38994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℤ)
249247, 248zsubcld 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ)
250 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
25144, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
252251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
253 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)) → 𝐷 Fn (0...𝑀))
25468, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 Fn (0...𝑀))
255254ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝐷 Fn (0...𝑀))
256 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
257256adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
258 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
259258eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
260259ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
26177adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
26284adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
263261, 262eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷𝑗))
264263adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷𝑗))
265257, 260, 2643eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
266265adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
267266adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
26826ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
269168ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
270168ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
27144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
27250sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
273272adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
274271, 273ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
27533, 274sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
27647, 275fsumnn0cl 14400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
277276nn0red 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
278277ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
279 0red 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 ∈ ℝ)
28044ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
281187, 280sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℝ)
282281ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ∈ ℝ)
283 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0)
284 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘(𝑐𝑗)
285 fzfid 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (1...𝑀) ∈ Fin)
286 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
28774, 274sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
288286, 287sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
289 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ∈ ℤ)
290 elfzel2 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
291290adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
292 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
293292adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℤ)
294289, 291, 2933jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
295 elfznn0 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
296295adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
297 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑗 = 0 → 𝑗 ≠ 0)
298297adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ≠ 0)
299 elnnne0 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ≠ 0))
300296, 298, 299sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ)
301300nnge1d 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ≤ 𝑗)
302 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
303302adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗𝑀)
304294, 301, 303jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑀)))
305 elfz2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑀)))
306304, 305sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
307306adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
308307adantlll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
309 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = 𝑗 → (𝑐𝑘) = (𝑐𝑗))
310283, 284, 285, 288, 308, 309fsumsplit1 39208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) = ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
311310eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
312311, 278eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
313 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
314280, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
315314ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
316 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (¬ (𝑐𝑗) = 0 → (𝑐𝑗) ≠ 0)
317316adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ≠ 0)
318279, 282, 315, 317leneltd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < (𝑐𝑗))
319 diffi 8136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
320105, 319mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
321 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
322321adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
32350, 322sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
32444ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
325187, 324sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℝ)
326323, 325syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → (𝑐𝑘) ∈ ℝ)
327 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
328324, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
329323, 328syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
330320, 326, 329fsumge0 14454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))
331330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))
332320, 326fsumrecl 14398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
333332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
334281, 333addge01d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ↔ (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))))
335331, 334mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
336335ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
337279, 282, 312, 318, 336ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
338337, 311breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
339278, 338elrpd 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
340270, 339ltaddrpd 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
341340adantlllr 38682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
342 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
343342cbvsumv 14360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘)
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘))
34573ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
346 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
34774, 324sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
348346, 347sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
349 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 0 → (𝑐𝑘) = (𝑐‘0))
350345, 348, 349fsum1p 14412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘)))
351259ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
35286sumeq1i 14362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
354351, 353oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘)) = ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
355344, 350, 3543eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
356341, 355breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
357269, 356gtned 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) ≠ (𝑃 − 1))
358357neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
359268, 358condan 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = 0)
360 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
36133, 66sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ0)
36267fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ0) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
363360, 361, 362syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
364363adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
365 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → ¬ 𝑗 = 0)
366365iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
367364, 366eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
368367adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
369368adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
370359, 369eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
371267, 370pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
372252, 255, 371eqfnfvd 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
373236, 372sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
374 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐𝐷)
375374neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
376375ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
377373, 376pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
378377neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ≠ (𝑐‘0))
379240, 241, 243, 378leneltd 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) < (𝑃 − 1))
380240, 241posdifd 10558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑐‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
381379, 380mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))
382 elnnz 11331 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
383249, 381, 382sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ)
3843830expd 12964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = 0)
385384oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0))
386161adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
387383nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ0)
388387faccld 13011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℕ)
389388nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℂ)
390388nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ≠ 0)
391386, 389, 390divcld 10745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) ∈ ℂ)
392391mul01d 10179 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0) = 0)
393245, 385, 3923eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = 0)
394393oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
395236, 55sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
396395zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℂ)
397396mul02d 10178 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = 0)
398394, 397eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = 0)
399398oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · 0))
400 fzfid 12712 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0...𝑀) ∈ Fin)
40133, 280sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
402236, 401sylanl2 682 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
403402faccld 13011 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
404400, 403fprodnncl 14610 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
405404nncnd 10980 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
406404nnne0d 11009 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
407386, 405, 406divcld 10745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
408407mul01d 10179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · 0) = 0)
409399, 408eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = 0)
410409sumeq2dv 14367 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0)
411 diffi 8136 . . . . . . . 8 ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
41219, 411syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
413412olcd 408 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin))
414 sumz 14386 . . . . . 6 ((((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin) → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
415413, 414syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
416410, 415eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = 0)
417235, 416oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) + 0))
418233addid1d 10180 . . 3 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) + 0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
419 nfv 1840 . . . . 5 𝑗𝜑
420419, 206, 228, 220fprodexp 39230 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
421420oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
422417, 418, 4213eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
42316, 143, 4223eqtrd 2659 1 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  cexp 12800  !cfa 13000  Σcsu 14350  cprod 14560  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665   D𝑛 cdvn 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-prod 14561  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-dvn 23538
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