Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem37 39792
Description: (𝑃 − 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem37.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem37.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem37.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem37.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem37.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem37.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem37.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem37.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem37.9 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem37.j (𝜑𝐽𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem37 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem37
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem37.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem37.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem16 39771 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
4 etransclem37.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11278 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
76faccld 13011 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
87nnzd 11425 . . 3 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
91, 2etransclem12 39767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
109eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐶𝑁) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁}))
1110biimpa 501 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
12 rabid 3106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁))
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁))
1413simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁)
1615eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
1716fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)))
1817oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))))
19 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑗𝑐
20 fzfid 12712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
21 nn0ex 11242 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ℕ0 ∈ V)
23 fzssnn0 38994 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
24 mapss 7844 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2522, 23, 24sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2613simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2725, 26sseldd 3584 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2919, 20, 28mccl 39231 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3018, 29eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3130nnzd 11425 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℤ)
324adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
33 etransclem37.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
35 elmapi 7823 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
3611, 26, 353syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
37 etransclem37.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
3837elfzelzd 38991 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4032, 34, 36, 39etransclem10 39765 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
41 fzfid 12712 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
4232adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4336adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
44 0z 11332 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
45 fzp1ss 12334 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4746sseli 3579 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
48 1e0p1 11496 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
4948oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
5047, 49eleq2s 2716 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5150adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5239adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
5342, 43, 51, 52etransclem3 39758 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5441, 53fprodzcl 14609 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5540, 54zmulcld 11432 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) ∈ ℤ)
5631, 55zmulcld 11432 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
572adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
58 etransclem11 39766 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
591, 58eqtri 2643 . . . 4 𝐶 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
60 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
6137adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
62 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
6362fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑐𝑗)) = (!‘(𝑐𝑘)))
6463cbvprodv 14571 . . . . . 6 𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))
6564oveq2i 6615 . . . . 5 ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)))
6662breq2d 4625 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝑐𝑘)))
6762oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝑐𝑘)))
6867fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘))))
6968oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
70 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
7170, 67oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))) = ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))
7269, 71oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
7366, 72ifbieq2d 4083 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))))
7473cbvprodv 14571 . . . . . 6 𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
7574oveq2i 6615 . . . . 5 (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))))
7665, 75oveq12i 6616 . . . 4 (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))))
7732, 34, 57, 59, 60, 61, 76etransclem28 39783 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
783, 8, 56, 77fsumdvds 14954 . 2 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
79 etransclem37.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
80 etransclem37.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
81 etransclem37.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
82 etransclem37.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
83 etransclem37.j . . 3 (𝜑𝐽𝑋)
8479, 80, 4, 33, 81, 2, 82, 1, 83etransclem31 39786 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
8578, 84breqtrrd 4641 1 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  ifcif 4058  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  cexp 12800  !cfa 13000  Σcsu 14350  cprod 14560  cdvds 14907  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  fldccnfld 19665   D𝑛 cdvn 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-dvn 23538
This theorem is referenced by:  etransclem44  39799  etransclem45  39800
  Copyright terms: Public domain W3C validator