Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem44 39828
 Description: The given finite sum is nonzero. This is the claim proved after equation (7) in [Juillerat] p. 12 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem44.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem44.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem44.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem44.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem44.ap (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
etransclem44.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem44.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem44.k 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem44 (𝜑𝐾 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem44
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem44.k . . . 4 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
3 nfv 1840 . . . . 5 𝑘𝜑
4 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0))
5 fzfi 12719 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ Fin
6 fzfi 12719 . . . . . . 7 (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin
7 xpfi 8183 . . . . . . 7 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
85, 6, 7mp2an 707 . . . . . 6 ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
10 etransclem44.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
12 fzssnn0 39028 . . . . . . . . . 10 (0...𝑀) ⊆ ℕ0
13 xp1st 7150 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
1412, 13sseldi 3585 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelrnd 6321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
17 reelprrecn 9980 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
19 reopn 38996 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
20 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120tgioo2 22529 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2219, 21eleqtri 2696 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24 etransclem44.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
25 prmnn 15323 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑃 ∈ ℕ)
28 etransclem44.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
30 etransclem44.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 7151 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
32 elfznn0 12382 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3515nn0red 11304 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
3615nn0zd 11432 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℤ)
3718, 23, 27, 29, 30, 34, 35, 36etransclem42 39826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
3816, 37zmulcld 11440 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℤ)
3938zcnd 11435 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
40 nn0uz 11674 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
4128, 40syl6eleq 2708 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42 eluzfz1 12298 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
44 0zd 11341 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4528nn0zd 11432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4626nnzd 11433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
4745, 46zmulcld 11440 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
48 nnm1nn0 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4926, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5049nn0zd 11432 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
5147, 50zaddcld 11438 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
5244, 51, 503jca 1240 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ))
5349nn0ge0d 11306 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 − 1))
5426nnnn0d 11303 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
5528, 54nn0mulcld 11308 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℕ0)
5655nn0ge0d 11306 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑃))
5749nn0red 11304 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5847zred 11434 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℝ)
5957, 58addge02d 10568 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 · 𝑃) ↔ (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))
6152, 53, 60jca32 557 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − 1) ∧ (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
62 elfz2 12283 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − 1) ∧ (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
6361, 62sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
64 opelxp 5111 . . . . . 6 (⟨0, (𝑃 − 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ↔ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑃 − 1) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
6543, 63, 64sylanbrc 697 . . . . 5 (𝜑 → ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
66 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (1st𝑘) = (1st ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩))
67 0re 9992 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
68 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (𝑃 − 1) ∈ V
69 op1stg 7132 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ V) → (1st ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = 0)
7067, 68, 69mp2an 707 . . . . . . . 8 (1st ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = 0
7166, 70syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (1st𝑘) = 0)
7271fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (𝐴‘(1st𝑘)) = (𝐴‘0))
73 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (2nd𝑘) = (2nd ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩))
74 op2ndg 7133 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ V) → (2nd ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = (𝑃 − 1))
7567, 68, 74mp2an 707 . . . . . . . . 9 (2nd ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = (𝑃 − 1)
7673, 75syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (2nd𝑘) = (𝑃 − 1))
7776fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1)))
7877, 71fveq12d 6159 . . . . . 6 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0))
7972, 78oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) = ((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)))
803, 4, 9, 39, 65, 79fsumsplit1 39236 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) = (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) + Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))))
8180oveq1d 6625 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) + Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))) / (!‘(𝑃 − 1))))
8212, 43sseldi 3585 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
8310, 82ffvelrnd 6321 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
8417a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8522a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8667a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8784, 85, 26, 28, 30, 49, 86, 44etransclem42 39826 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ∈ ℤ)
8883, 87zmulcld 11440 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) ∈ ℤ)
8988zcnd 11435 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) ∈ ℂ)
90 difss 3720 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ⊆ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
91 ssfi 8132 . . . . . . . 8 ((((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin ∧ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ⊆ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∈ Fin)
928, 90, 91mp2an 707 . . . . . . 7 (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∈ Fin
9392a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∈ Fin)
94 eldifi 3715 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
9594, 38sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℤ)
9693, 95fsumzcl 14407 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℤ)
9796zcnd 11435 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
9849faccld 13019 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
9998nncnd 10988 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
10098nnne0d 11017 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
10189, 97, 99, 100divdird 10791 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) + Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) + (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
1022, 81, 1013eqtrd 2659 . 2 (𝜑𝐾 = ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) + (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
10326nnne0d 11017 . . 3 (𝜑𝑃 ≠ 0)
10483zcnd 11435 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
10587zcnd 11435 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ∈ ℂ)
106104, 105, 99, 100divassd 10788 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
107 etransclem5 39789 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
108 etransclem11 39795 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
10984, 85, 26, 28, 30, 49, 107, 108, 43, 86etransclem37 39821 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0))
11098nnzd 11433 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
111 dvdsval2 14921 . . . . . . 7 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
112110, 100, 87, 111syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
113109, 112mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
11483, 113zmulcld 11440 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
115106, 114eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
11694, 39sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
11793, 99, 116, 100fsumdivc 14457 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
11816zcnd 11435 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
11994, 118sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
12094, 37sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
121120zcnd 11435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
12299adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
123100adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
124119, 121, 122, 123divassd 10788 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
12594, 16sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
12617a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12722a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
12826adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∈ ℕ)
12928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13094adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
131130, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
132130, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
13394, 35sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
134126, 127, 128, 129, 30, 131, 107, 108, 132, 133etransclem37 39821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))
135110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
136 dvdsval2 14921 . . . . . . . . 9 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
137135, 123, 120, 136syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
138134, 137mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
139125, 138zmulcld 11440 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
140124, 139eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
14193, 140fsumzcl 14407 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
142117, 141eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
143 1zzd 11360 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
144 zabscl 13995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
14583, 144syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
146143, 50, 1453jca 1240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ))
147 nn0abscl 13994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ0)
14883, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ0)
149 etransclem44.a0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
150104, 149absne0d 14128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ≠ 0)
151 elnnne0 11258 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ ↔ ((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ≠ 0))
152148, 150, 151sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ)
153152nnge1d 11015 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐴‘0)))
154 etransclem44.ap . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
155 zltlem1 11382 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃 ↔ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
156145, 46, 155syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃 ↔ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
157154, 156mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
158146, 153, 157jca32 557 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (abs‘(𝐴‘0)) ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
159 elfz2 12283 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐴‘0)) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (abs‘(𝐴‘0)) ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
160158, 159sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
161 fzm1ndvds 14979 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0)))
16226, 160, 161syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0)))
163 dvdsabsb 14936 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0))))
16446, 83, 163syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0))))
165162, 164mtbird 315 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴‘0))
166 etransclem44.mp . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
16728, 24, 166, 30etransclem41 39825 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))
168165, 167jca 554 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
169 pm4.56 516 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ↔ ¬ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
170168, 169sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
171 euclemma 15360 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℤ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))))
17224, 83, 113, 171syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))))
173170, 172mtbird 315 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
174106breq2d 4630 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))))
175173, 174mtbird 315 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))))
17646adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∈ ℤ)
177176, 125, 1383jca 1240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
178 eldifn 3716 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) → ¬ 𝑘 ∈ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})
17994adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
180 1st2nd2 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → 𝑘 = ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩)
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 = ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩)
182 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0) → (1st𝑘) = 0)
183 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0) → (2nd𝑘) = (𝑃 − 1))
184182, 183opeq12d 4383 . . . . . . . . . . . . 13 (((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0) → ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩ = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
185184adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩ = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
186181, 185eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
187 velsn 4169 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩} ↔ 𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
188186, 187sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 ∈ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})
189178, 188mtand 690 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) → ¬ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0))
190189adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ¬ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0))
191128, 129, 30, 131, 132, 190, 108etransclem38 39822 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))))
192 dvdsmultr2 14956 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))))))
193177, 191, 192sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∥ ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
194193, 124breqtrrd 4646 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∥ (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
19593, 46, 140, 194fsumdvds 14965 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
196195, 117breqtrrd 4646 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
19746, 103, 115, 142, 175, 196etransclem9 39793 . 2 (𝜑 → ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) + (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))) ≠ 0)
198102, 197eqnetrd 2857 1 (𝜑𝐾 ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559  ifcif 4063  {csn 4153  {cpr 4155  ⟨cop 4159   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077  ran crn 5080  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1st c1st 7118  2nd c2nd 7119   ↑𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907  ℂcc 9886  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026   ≤ cle 10027   − cmin 10218   / cdiv 10636  ℕcn 10972  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639  (,)cioo 12125  ...cfz 12276  ↑cexp 12808  !cfa 13008  abscabs 13916  Σcsu 14358  ∏cprod 14571   ∥ cdvds 14918  ℙcprime 15320   ↾t crest 16013  TopOpenctopn 16014  topGenctg 16030  ℂfldccnfld 19678   D𝑛 cdvn 23551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-prod 14572  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-dvn 23555 This theorem is referenced by:  etransclem47  39831
 Copyright terms: Public domain W3C validator