Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem45 40259
Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem45.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem45.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem45.k 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
2 fzfi 12754 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 12754 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 8216 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 707 . . . . 5 ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11319 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
109faccld 13054 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
1110nncnd 11021 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
14 xp1st 7183 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 12417 . . . . . . . . 9 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1813, 17ffvelrnd 6346 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
1918zcnd 11468 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
20 reelprrecn 10013 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
22 reopn 39314 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
23 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22587 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2522, 24eleqtri 2697 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
277adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑃 ∈ ℕ)
28 etransclem45.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
30 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 7184 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ (0...𝑅))
32 elfznn0 12417 . . . . . . . . 9 ((2nd𝑘) ∈ (0...𝑅) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3521, 26, 27, 29, 30, 34etransclem33 40247 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
3617nn0red 11337 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
3735, 36ffvelrnd 6346 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
3819, 37mulcld 10045 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
3910nnne0d 11050 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
406, 11, 38, 39fsumdivc 14499 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4111adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4239adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
4319, 37, 41, 42divassd 10821 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
44 etransclem5 40219 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
45 etransclem11 40225 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
4614adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
4721, 26, 27, 29, 30, 34, 44, 45, 46, 36etransclem37 40251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))
4810nnzd 11466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
5017nn0zd 11465 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℤ)
5121, 26, 27, 29, 30, 34, 36, 50etransclem42 40256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
52 dvdsval2 14967 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5349, 42, 51, 52syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5447, 53mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5518, 54zmulcld 11473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
5643, 55eqeltrd 2699 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
576, 56fsumzcl 14447 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5840, 57eqeltrd 2699 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
591, 58syl5eqel 2703 1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  {crab 2913  ifcif 4077  {cpr 4170   class class class wbr 4644  cmpt 4720   × cxp 5102  ran crn 5105  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  1st c1st 7151  2nd c2nd 7152  𝑚 cmap 7842  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  (,)cioo 12160  ...cfz 12311  cexp 12843  !cfa 13043  Σcsu 14397  cprod 14616  cdvds 14964  t crest 16062  TopOpenctopn 16063  topGenctg 16079  fldccnfld 19727   D𝑛 cdvn 23609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-prod 14617  df-dvds 14965  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-dvn 23613
This theorem is referenced by:  etransclem47  40261
  Copyright terms: Public domain W3C validator