Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem47 40816
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem47.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem47.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem47.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem47.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem47.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem47.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem47.ap (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
etransclem47.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem47.9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
etransclem47.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem47.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem47.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem47 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑄,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem47
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem47.k . . . . 5 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))))
3 etransclem47.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
4 etransclem47.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
5 etransclem47.a . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝑄)
6 etransclem47.m . . . . 5 𝑀 = (deg‘𝑄)
7 ssid 3657 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
9 reelprrecn 10066 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
11 reopn 39815 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
12 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312tgioo2 22653 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1411, 13eleqtri 2728 . . . . . 6 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
16 etransclem47.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
17 prmnn 15435 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
19 etransclem47.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
20 etransclem47.l . . . . 5 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
21 eqid 2651 . . . . 5 ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) = ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))
22 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2322sumeq2ad 14478 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
2423cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
25 negeq 10311 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → -𝑧 = -𝑥)
2625oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (e↑𝑐-𝑧) = (e↑𝑐-𝑥))
27 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥))
2826, 27oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧)) = ((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
2928negeqd 10313 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → -((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧)) = -((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
3029cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑧) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (0[,]𝑗) ↦ -((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑦))‘𝑥)))
313, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 24, 30etransclem46 40815 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
32 fzfid 12812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
33 fzfid 12812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin)
34 xpfi 8272 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
3532, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
363eldifad 3619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
37 0zd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
385coef2 24032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
4039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
41 xp1st 7242 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
42 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . 12 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4443adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
4540, 44ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
4645zcnd 11521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
479a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4814a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑃 ∈ ℕ)
50 dgrcl 24034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
5136, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
526, 51syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5352adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
54 xp2nd 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
55 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5756adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
5847, 48, 49, 53, 19, 57etransclem33 40802 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
5944nn0red 11390 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
6058, 59ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
6146, 60mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
6235, 61fsumcl 14508 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
63 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6418, 63syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6564faccld 13111 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6665nncnd 11074 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6765nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6862, 66, 67divnegd 10852 . . . . 5 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
6968eqcomd 2657 . . . 4 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
702, 31, 693eqtrd 2689 . . 3 (𝜑𝐾 = -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
71 eqid 2651 . . . . 5 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
7218, 52, 19, 39, 71etransclem45 40814 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
7372znegcld 11522 . . 3 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
7470, 73eqeltrd 2730 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
751, 31syl5eq 2697 . . 3 (𝜑𝐾 = (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
7662, 66, 67divcld 10839 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
77 etransclem47.a0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
78 etransclem47.ap . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
79 etransclem47.mp . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
8039, 77, 52, 16, 78, 79, 19, 71etransclem44 40813 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8176, 80negne0d 10428 . . . 4 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8269, 81eqnetrd 2890 . . 3 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ≠ 0)
8375, 82eqnetrd 2890 . 2 (𝜑𝐾 ≠ 0)
84 eldifsni 4353 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
853, 84syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄 ≠ 0𝑝)
86 ere 14863 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
8786recni 10090 . . . . . 6 e ∈ ℂ
8887a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
89 dgrnznn 24048 . . . . 5 (((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ∧ (e ∈ ℂ ∧ (𝑄‘e) = 0)) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ)
9036, 85, 88, 4, 89syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ)
916, 90syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
92 etransclem47.9 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
9339, 20, 1, 18, 91, 19, 92etransclem23 40792 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
94 neeq1 2885 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ≠ 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
95 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘𝑘) = (abs‘𝐾))
9695breq1d 4695 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘𝑘) < 1 ↔ (abs‘𝐾) < 1))
9794, 96anbi12d 747 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1) ↔ (𝐾 ≠ 0 ∧ (abs‘𝐾) < 1)))
9897rspcev 3340 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≠ 0 ∧ (abs‘𝐾) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
9974, 83, 93, 98syl12anc 1364 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cexp 12900  !cfa 13100  abscabs 14018  Σcsu 14460  cprod 14679  eceu 14837  cprime 15432  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  citg 23432  0𝑝c0p 23481   D𝑛 cdvn 23673  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  etransclem48  40817
  Copyright terms: Public domain W3C validator