Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem9 42405
Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem9.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0 (𝜑𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
etransclem9.kn (𝜑𝐾𝑁)
Assertion
Ref Expression
etransclem9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9
StepHypRef Expression
1 etransclem9.km . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
2 etransclem9.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3 etransclem9.kn0 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ 0)
4 etransclem9.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 dvdsval2 15598 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
62, 3, 4, 5syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
71, 6mtbid 325 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8 df-neg 10861 . . . . . . 7 -𝑁 = (0 − 𝑁)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10 oveq1 7152 . . . . . . . 8 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
1110eqcomd 2824 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
134zcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 etransclem9.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1613, 15pncand 10986 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
189, 12, 173eqtrrd 2858 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
1918oveq1d 7160 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20 etransclem9.kn . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑁)
21 dvdsnegb 15615 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
222, 14, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
2320, 22mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∥ -𝑁)
2414znegcld 12077 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25 dvdsval2 15598 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
262, 3, 24, 25syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
2723, 26mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrd 2910 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
307, 29mtand 812 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
3130neqned 3020 1 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cz 11969  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-z 11970  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  etransclem44  42440
  Copyright terms: Public domain W3C validator