Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem9 39797
 Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem9.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0 (𝜑𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
etransclem9.kn (𝜑𝐾𝑁)
Assertion
Ref Expression
etransclem9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9
StepHypRef Expression
1 etransclem9.km . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
2 etransclem9.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3 etransclem9.kn0 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ 0)
4 etransclem9.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 dvdsval2 14929 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
62, 3, 4, 5syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
71, 6mtbid 314 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8 df-neg 10229 . . . . . . 7 -𝑁 = (0 − 𝑁)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10 oveq1 6622 . . . . . . . 8 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
1110eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
134zcnd 11443 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 etransclem9.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 11443 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1613, 15pncand 10353 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
189, 12, 173eqtrrd 2660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
1918oveq1d 6630 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20 etransclem9.kn . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑁)
21 dvdsnegb 14942 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
222, 14, 21syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
2320, 22mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∥ -𝑁)
2414znegcld 11444 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25 dvdsval2 14929 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
262, 3, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
2723, 26mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
307, 29mtand 690 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
3130neqned 2797 1 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  0cc0 9896   + caddc 9899   − cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  ℤcz 11337   ∥ cdvds 14926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-z 11338  df-dvds 14927 This theorem is referenced by:  etransclem44  39832
 Copyright terms: Public domain W3C validator