MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euen1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem euen1b 7890
Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
euen1b (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b
StepHypRef Expression
1 euen1 7889 . 2 (∃!𝑥 𝑥𝐴 ↔ {𝑥𝑥𝐴} ≈ 1𝑜)
2 abid2 2731 . . 3 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
32breq1i 4584 . 2 ({𝑥𝑥𝐴} ≈ 1𝑜𝐴 ≈ 1𝑜)
41, 3bitr2i 263 1 (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wcel 1976  ∃!weu 2457  {cab 2595   class class class wbr 4577  1𝑜c1o 7417  cen 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-1o 7424  df-en 7819
This theorem is referenced by:  euhash1  13023  f1otrspeq  17638  hausflf2  21559  minveclem4a  22953
  Copyright terms: Public domain W3C validator