Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulercrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulercrct 26968
 Description: A pseudograph with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ (an "Eulerian pseudograph") has only vertices of even degree. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eulercrct ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulercrct
StepHypRef Expression
1 eulerpathpr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 simpl 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph )
4 upgruhgr 25892 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
52uhgrfun 25857 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
76adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8 simpr 477 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
91, 2, 3, 7, 8eupth2 26965 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
1093adant3 1079 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
11 crctprop 26556 . . . . . . 7 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
1211simprd 479 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
13123ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
1413iftrued 4066 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) = ∅)
1514eqeq2d 2631 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) ↔ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
16 rabeq0 3931 . . . 4 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
17 notnotr 125 . . . . 5 (¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
1817ralimi 2947 . . . 4 (∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
1916, 18sylbi 207 . . 3 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
2015, 19syl6bi 243 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
2110, 20mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911  ∅c0 3891  ifcif 4058  {cpr 4150   class class class wbr 4613  Fun wfun 5841  ‘cfv 5847  0cc0 9880  2c2 11014  #chash 13057   ∥ cdvds 14907  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775   UHGraph cuhgr 25847   UPGraph cupgr 25871  VtxDegcvtxdg 26248  Trailsctrls 26456  Circuitsccrcts 26548  EulerPathsceupth 26923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-uspgr 25938  df-vtxdg 26249  df-wlks 26365  df-trls 26458  df-crcts 26550  df-eupth 26924 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator