Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 30556
Description: Lemma for eulerpart 30572: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6228 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔𝑛) = (𝐴𝑛))
21breq1d 4695 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
32ralbidv 3015 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
53, 4elrab2 3399 . 2 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
6 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 fzoval 12510 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 − 1))
9 fzo0to2pr 12593 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 11173 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (0...(2 − 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2681 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2722 . . . . . 6 ((𝐴𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴𝑛) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 30553 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
1615simp1bi 1096 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1716ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℕ0)
18 1nn0 11346 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
20 df-3an 1056 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2119, 20bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2221baib 964 . . . . . . 7 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2317, 18, 22sylancl 695 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2413, 23syl5rbb 273 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 3014 . . . 4 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
26 ffun 6086 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
2716, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑃 → Fun 𝐴)
28 fdm 6089 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
29 eqimss2 3691 . . . . . 6 (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
3016, 28, 293syl 18 . . . . 5 (𝐴𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
31 funimass4 6286 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3227, 30, 31syl2anc 694 . . . 4 (𝐴𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3325, 32bitr4d 271 . . 3 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
3433pm5.32i 670 . 2 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
355, 34bitri 264 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  Σcsu 14460  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  30571
  Copyright terms: Public domain W3C validator