Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemgf 30569
 Description: Lemma for eulerpart 30572: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 30563 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))))
1211cnveqd 5330 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))))
1312imaeq1d 5500 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) = (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}))
14 nnex 11064 . . . . 5 ℕ ∈ V
15 imassrn 5512 . . . . . 6 (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
164, 5oddpwdc 30544 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17 f1of 6175 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18 frn 6091 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ ℕ
2015, 19sstri 3645 . . . . 5 (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ℕ
21 indpi1 30210 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ℕ) → (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 708 . . . 4 (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))
2313, 22syl6eq 2701 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))))
24 ffun 6086 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 3867 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 30565 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 30557 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29 f1of 6175 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
3130ffvelrni 6398 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3326, 32sseldi 3634 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 8300 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 696 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2730 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 30562 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
38 f1of 6175 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
4039ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
41 elin 3829 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐺𝐴) ∈ 𝑅))
4241simplbi 475 . . . . . 6 ((𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ))
43 elmapi 7921 . . . . . 6 ((𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1})
45 ffun 6086 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1} → Fun (𝐺𝐴))
4644, 45syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐺𝐴))
47 ssv 3658 . . . . 5 0 ⊆ V
48 dfn2 11343 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
49 ssdif 3778 . . . . . 6 (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
5048, 49syl5eqss 3682 . . . . 5 (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
5147, 50ax-mp 5 . . . 4 ℕ ⊆ (V ∖ {0})
52 sspreima 29575 . . . 4 ((Fun (𝐺𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
5346, 51, 52sylancl 695 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
54 fvex 6239 . . . . 5 (𝐺𝐴) ∈ V
55 0nn0 11345 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
56 suppimacnv 7351 . . . . 5 (((𝐺𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
5754, 55, 56mp2an 708 . . . 4 ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0}))
58 0ne1 11126 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
59 difprsn1 4362 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
6160eqcomi 2660 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} ∖ {0})
6261ffs2 29631 . . . . . 6 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6314, 55, 62mp3an12 1454 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6444, 63syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6557, 64syl5eqr 2699 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6653, 65sseqtrd 3674 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ {1}))
67 ssfi 8221 . 2 ((((𝐺𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ {1})) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
6836, 66, 67syl2anc 694 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  {copab 4745   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ◡ccnv 5142  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692   supp csupp 7340   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ↑cexp 12900  Σcsu 14460   ∥ cdvds 15027  bitscbits 15188  𝟭cind 30200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-bits 15191  df-ind 30201 This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  30570
 Copyright terms: Public domain W3C validator