Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemmf 29565
Description: Lemma for eulerpart 29572. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 14946 . . . . 5 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2 f1of 6030 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 29559 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1413biimpi 204 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1514simp1d 1065 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ))
16 nn0ex 11140 . . . . . . 7 0 ∈ V
17 nnex 10868 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1816, 17elmap 7744 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1915, 18sylib 206 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20 ssrab2 3644 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
217, 20eqsstri 3592 . . . . 5 𝐽 ⊆ ℕ
22 fssres 5963 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
2319, 21, 22sylancl 692 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24 fco2 5953 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 693 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2616pwex 4764 . . . . 5 𝒫 ℕ0 ∈ V
2726inex1 4717 . . . 4 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 4721 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 7744 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 222 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽))
3114simp2d 1066 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32 0nn0 11149 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
33 suppimacnv 7165 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
3432, 33mpan2 702 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
35 frnsuppeq 7166 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
3617, 32, 35mp2an 703 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3834, 37eqtr3d 2640 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3938eleq1d 2666 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 11147 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
4140imaeq2i 5365 . . . . . . 7 (𝐴 “ ℕ) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
4241eleq1i 2673 . . . . . 6 ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
4339, 42syl6bbr 276 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 245 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45 resss 5324 . . . . 5 (𝐴𝐽) ⊆ 𝐴
46 cnvss 5199 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴(𝐴𝐽) ⊆ 𝐴)
47 imass1 5401 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))
49 ssfi 8037 . . . 4 (((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 692 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5213 . . . . . 6 (bits ∘ (𝐴𝐽)) = ((𝐴𝐽) ∘ bits)
5251imaeq1i 5364 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅}))
53 imaco 5538 . . . . 5 (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
5452, 53eqtri 2626 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
55 ffun 5942 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56 funres 5824 . . . . . 6 (Fun 𝐴 → Fun (𝐴𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐴𝐽))
58 ssv 3582 . . . . . . 7 (bits “ V) ⊆ V
59 ssdif 3701 . . . . . . 7 ((bits “ V) ⊆ V → ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅}))
61 bitsf 14928 . . . . . . 7 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62 ffun 5942 . . . . . . 7 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63 difpreima 6231 . . . . . . 7 (Fun bits → (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅}))
65 bitsf1 14947 . . . . . . . . 9 bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66 0z 11216 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
67 snssi 4274 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ ℤ
69 f1imacnv 6046 . . . . . . . . 9 ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (bits “ (bits “ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 703 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = {0}
71 ffn 5939 . . . . . . . . . . . 12 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn ℤ
73 fnsnfv 6148 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
7472, 66, 73mp2an 703 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75 0bits 14940 . . . . . . . . . . 11 (bits‘0) = ∅
7675sneqi 4130 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = {∅}
7774, 76eqtr3i 2628 . . . . . . . . 9 (bits “ {0}) = {∅}
7877imaeq2i 5365 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = (bits “ {∅})
7970, 78eqtr3i 2628 . . . . . . 7 {0} = (bits “ {∅})
8079difeq2i 3681 . . . . . 6 (V ∖ {0}) = (V ∖ (bits “ {∅}))
8160, 64, 803sstr4i 3601 . . . . 5 (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82 sspreima 28628 . . . . 5 ((Fun (𝐴𝐽) ∧ (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8357, 81, 82sylancl 692 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8454, 83syl5eqss 3606 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
85 ssfi 8037 . . 3 ((((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0}))) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 690 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87 oveq1 6529 . . . . 5 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅))
8887eleq1d 2666 . . . 4 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3327 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90 zex 11214 . . . . . 6 ℤ ∈ V
91 fex 6367 . . . . . 6 ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 703 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 5344 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽) ∈ V)
94 coexg 6982 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 693 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
96 0ex 4708 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
97 suppimacnv 7165 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9896, 97mpan2 702 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9998eleq1d 2666 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
10099anbi2d 735 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10289, 101syl5bb 270 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 958 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  {cab 2590  wral 2890  {crab 2894  Vcvv 3167  cdif 3531  cin 3533  wss 3534  c0 3868  𝒫 cpw 4102  {csn 4119   class class class wbr 4572  {copab 4631  cmpt 4632  ccnv 5022  cres 5025  cima 5026  ccom 5027  Fun wfun 5779   Fn wfn 5780  wf 5781  1-1wf1 5782  1-1-ontowf1o 5784  cfv 5785  (class class class)co 6522  cmpt2 6524   supp csupp 7154  𝑚 cmap 7716  Fincfn 7813  0cc0 9787  1c1 9788   · cmul 9792  cle 9926  cn 10862  2c2 10912  0cn0 11134  cz 11205  cexp 12672  Σcsu 14205  cdvds 14762  bitscbits 14920  𝟭cind 29201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-disj 4543  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-mod 12481  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-clim 14008  df-sum 14206  df-dvds 14763  df-bits 14923
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  29566  eulerpartlemgf  29569
  Copyright terms: Public domain W3C validator