Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsf 29554
Description: Lemma for eulerpart 29577. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsf 𝑆:((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
Distinct variable group:   𝑓,𝑘,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsf
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . 2 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
2 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝑔 = 𝑓𝑘 ∈ ℕ) → 𝑔 = 𝑓)
32fveq1d 6090 . . . . . 6 ((𝑔 = 𝑓𝑘 ∈ ℕ) → (𝑔𝑘) = (𝑓𝑘))
43oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝑔 = 𝑓𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑘) · 𝑘) = ((𝑓𝑘) · 𝑘))
54sumeq2dv 14227 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
65eleq1d 2671 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0))
7 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87, 1eulerpartlemsv2 29553 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝑔) = Σ𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)((𝑔𝑘) · 𝑘))
97, 1eulerpartlemsv1 29551 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝑔) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘))
108, 9eqtr3d 2645 . . . 4 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)((𝑔𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘))
117, 1eulerpartlemelr 29552 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝑔 “ ℕ) ∈ Fin))
1211simprd 477 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔 “ ℕ) ∈ Fin)
1311simpld 473 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
15 cnvimass 5391 . . . . . . . . 9 (𝑔 “ ℕ) ⊆ dom 𝑔
16 fdm 5950 . . . . . . . . . 10 (𝑔:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝑔 = ℕ)
1713, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → dom 𝑔 = ℕ)
1815, 17syl5sseq 3615 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔 “ ℕ) ⊆ ℕ)
1918sselda 3567 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2014, 19ffvelrnd 6253 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → (𝑔𝑘) ∈ ℕ0)
2119nnnn0d 11198 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2220, 21nn0mulcld 11203 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → ((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
2312, 22fsumnn0cl 14260 . . . 4 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
2410, 23eqeltrrd 2688 . . 3 (𝑔 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
256, 24vtoclga 3244 . 2 (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
261, 25fmpti 6276 1 𝑆:((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  cin 3538  cmpt 4637  ccnv 5027  dom cdm 5028  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818   · cmul 9797  cn 10867  0cn0 11139  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  29555  eulerpartlemsv3  29556  eulerpartlemgc  29557
  Copyright terms: Public domain W3C validator