Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemv 29559
Description: Lemma for eulerpart 29577. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemv (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
21eulerpartleme 29558 . 2 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3 cnvimass 5391 . . . . . . . . 9 (𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4 fdm 5950 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
53, 4syl5sseq 3615 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
75sselda 3567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
86, 7ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
97nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 11203 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11200 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ)))
1312eldifad 3551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1412eldifbd 3552 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ))
15 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
17 elpreima 6230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
1914, 18mtbid 312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
20 imnan 436 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2119, 20sylibr 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2213, 21mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)
2315, 13ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
24 elnn0 11141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
2523, 24sylib 206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
26 orel1 395 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0) → (𝐴𝑘) = 0))
2722, 25, 26sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) = 0)
2827oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
2913nncnd 10883 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3029mul02d 10085 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
3128, 30eqtrd 2643 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 0)
32 nnuz 11555 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3332eqimssi 3621 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ‘1))
355, 11, 31, 34sumss 14248 . . . . . . 7 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
3635eqcomd 2615 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
3736adantr 479 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
3837eqeq1d 2611 . . . 4 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3938pm5.32i 666 . . 3 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40 df-3an 1032 . . 3 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41 df-3an 1032 . . 3 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
4239, 40, 413bitr4i 290 . 2 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
432, 42bitri 262 1 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  cdif 3536  wss 3539  ccnv 5027  dom cdm 5028  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  cn 10867  0cn0 11139  cuz 11519  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator