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Theorem eulerthlem2 16107
Description: Lemma for eulerth 16108. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerth.3 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerth.4 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
eulerth.5 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem2 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
21simp1d 1134 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32phicld 16097 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
43nnred 11641 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
54leidd 11194 . . . . . . 7 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁))
63adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
7 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)))
87anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁))))
9 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑1))
10 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
119, 10oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)))
1211oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁))
13 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘1))
1413oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁))
1512, 14eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁)))
1610oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)))
1716eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))
1815, 17anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)))
198, 18imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))))
20 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
2120anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))))
22 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
23 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑧))
2422, 23oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)))
2524oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁))
26 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑧))
2726oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁))
2825, 27eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁)))
2923oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)))
3029eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))
3128, 30anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)))
3221, 31imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))))
33 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)))
3433anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
35 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑧 + 1)))
36 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)))
3735, 36oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))))
3837oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
39 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)))
4039oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))
4138, 40eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)))
4236oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))))
4342eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))
4441, 43anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))
4534, 44imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
46 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)))
4746anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁))))
48 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁)))
49 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))
5048, 49oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))
5150oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁))
52 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))
5352oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁))
5451, 53eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁)))
5549oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))
5655eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))
5754, 56anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)))
5847, 57imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))))
591simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
60 eulerth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
61 f1of 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇𝑆)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
63 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
643, 63eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
65 eluzfz1 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
67 eulerth.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
6866, 67eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
6962, 68ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑆)
70 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹‘1) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁))
7170eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐹‘1) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1))
72 eulerth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
7371, 72elrab2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹‘1) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1))
7469, 73sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1))
7574simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁))
76 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘1) ∈ ℤ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℤ)
7859, 77zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℤ)
7978zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℝ)
802nnrpd 12417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
81 modabs2 13261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
83 1z 12000 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
84 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
8584oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘1)))
8685oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
87 eulerth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
88 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) ∈ V
8986, 87, 88fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ 𝑇 → (𝐺‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
9068, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
9183, 90seq1i 13371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
9291oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁))
9359zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9493exp1d 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
95 seq1 13370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
9683, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
9894, 97oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝐴 · (𝐹‘1)))
9998oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
10082, 92, 993eqtr4rd 2864 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁))
10196oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝑁 gcd (𝐹‘1))
1022nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
103 gcdcom 15850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁))
104102, 77, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁))
10574simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1)
106104, 105eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = 1)
107101, 106syl5eq 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)
108100, 107jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))
109108adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))
110 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ℝ)
112111lep1d 11559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑧 ≤ (𝑧 + 1))
113 peano2re 10801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
114111, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
1154adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
116 letr 10722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
117111, 114, 115, 116syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((𝑧 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
118112, 117mpand 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
119118imdistanda 572 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))))
120119imim1d 82 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))))
12159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
122 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
123122ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
124 zexpcl 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑧) ∈ ℤ)
125121, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴𝑧) ∈ ℤ)
126 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℕ)
127126, 63eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (ℤ‘1))
128110ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℝ)
129128, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
1304adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
131128lep1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ≤ (𝑧 + 1))
132 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))
133128, 129, 130, 131, 132letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))
134 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
135134ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
1363nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
137136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
138 eluz 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
139135, 137, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
140133, 139mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧))
141 fzss2 12935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧) → (1...𝑧) ⊆ (1...(ϕ‘𝑁)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (1...𝑧) ⊆ (1...(ϕ‘𝑁)))
143142, 67sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (1...𝑧) ⊆ 𝑇)
144143sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → 𝑥𝑇)
14562ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
146 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
147146eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
148147, 72elrab2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
149145, 148sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
150149simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁))
151 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
153152adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
154144, 153syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
155 zmulcl 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
156155adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
157127, 154, 156seqcl 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℤ)
158125, 157zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℤ)
159158zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ)
16072ssrab3 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 ⊆ (0..^𝑁)
1611, 72, 67, 60, 87eulerthlem1 16106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
162161ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
163160, 162sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ (0..^𝑁))
164 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
166165adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
167144, 166syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
168127, 167, 156seqcl 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ)
169168zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ)
17062adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐹:𝑇𝑆)
171 peano2nn 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
172171ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
173172nnge1d 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 1 ≤ (𝑧 + 1))
174172nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
175 elfz 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
17683, 175mp3an2 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑧 + 1) ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
177174, 137, 176syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
178173, 132, 177mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
179178, 67eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ 𝑇)
180170, 179ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ 𝑆)
181 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁))
182181eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1))
183182, 72elrab2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1))
184180, 183sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1))
185184simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁))
186 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ)
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ)
188121, 187zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ)
18980adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
190 modmul1 13280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁))
1911903expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁)))
192159, 169, 188, 189, 191syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁)))
193125zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
194157zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
19593adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
196187zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℂ)
197193, 194, 195, 196mul4d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (((𝐴𝑧) · 𝐴) · ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
198195, 123expp1d 13499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴↑(𝑧 + 1)) = ((𝐴𝑧) · 𝐴))
199 seqp1 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))
200127, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))
201198, 200oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = (((𝐴𝑧) · 𝐴) · ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
202197, 201eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))))
203202oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
204188zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ)
205204, 189modcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℝ)
206 modabs2 13261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
207204, 189, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
208 modmul1 13280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ) ∧ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) → ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
209205, 204, 168, 189, 207, 208syl221anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
210 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
211210oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))))
212211oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
213 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ V
214212, 87, 213fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 + 1) ∈ 𝑇 → (𝐺‘(𝑧 + 1)) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
215179, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐺‘(𝑧 + 1)) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
216215oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)))
217 seqp1 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))))
218127, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))))
219205recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℂ)
220168zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
221219, 220mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)))
222216, 218, 2213eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)))
223222oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) = ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
224188zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℂ)
225220, 224mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)))
226225oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
227209, 223, 2263eqtr4rd 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))
228203, 227eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)))
229192, 228sylibd 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)))
230102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
231 gcdcom 15850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁))
232230, 187, 231syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁))
233184simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1)
234232, 233eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1)
235 rpmul 15991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
236230, 157, 187, 235syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
237234, 236mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
238200oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
239238eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1 ↔ (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
240237, 239sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))
241229, 240anim12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))
242241an12s 645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))
243242ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
244243a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
245120, 244syld 47 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
24619, 32, 45, 58, 109, 245nnind 11644 . . . . . . . 8 ((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)))
2476, 246mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))
2485, 247mpdan 683 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))
249248simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁))
2503nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
251 zexpcl 13432 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
25259, 250, 251syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
25367eleq2i 2901 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑇𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
254253, 152sylan2br 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
255155adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
25664, 254, 255seqcl 13378 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
257252, 256zmulcld 12081 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) ∈ ℤ)
258 mulcl 10609 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
259258adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
260 mulcom 10611 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
261260adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
262 mulass 10613 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
263262adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
264 ssidd 3987 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
265 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
26660, 265syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
2672adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑁 ∈ ℕ)
26859adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝐴 ∈ ℤ)
26962ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑇) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
270269adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
271160, 270sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁))
272 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑦) ∈ ℤ)
273271, 272syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ ℤ)
274268, 273zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ℤ)
27562ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝑇) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
276275adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
277160, 276sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁))
278 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
279277, 278syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
280268, 279zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐴 · (𝐹𝑧)) ∈ ℤ)
281 moddvds 15606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝐹𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧)))))
282267, 274, 280, 281syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧)))))
283 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
284283oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
285284oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁))
286 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) ∈ V
287285, 87, 286fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑇 → (𝐺𝑦) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁))
288 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
289288oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
290289oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁))
291 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁) ∈ V
292290, 87, 291fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑇 → (𝐺𝑧) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁))
293287, 292eqeqan12d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑇𝑧𝑇) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁)))
294293adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁)))
29593adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
296273zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
297279zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
298295, 296, 297subdid 11084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧))))
299298breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧)))))
300282, 294, 2993bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))))
301 gcdcom 15850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
302102, 59, 301syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
3031simp3d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
304302, 303eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
305304adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
306102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑁 ∈ ℤ)
307273, 279zsubcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) ∈ ℤ)
308 coprmdvds 15985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
309306, 268, 307, 308syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
310273zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
31180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
312 elfzole1 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
313271, 312syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
314 elfzolt2 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑦) < 𝑁)
315271, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) < 𝑁)
316 modid 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < 𝑁)) → ((𝐹𝑦) mod 𝑁) = (𝐹𝑦))
317310, 311, 313, 315, 316syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) mod 𝑁) = (𝐹𝑦))
318279zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
319 elfzole1 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
320277, 319syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
321 elfzolt2 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑧) < 𝑁)
322277, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) < 𝑁)
323 modid 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑁)) → ((𝐹𝑧) mod 𝑁) = (𝐹𝑧))
324318, 311, 320, 322, 323syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑧) mod 𝑁) = (𝐹𝑧))
325317, 324eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (((𝐹𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧)))
326 moddvds 15606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
327267, 273, 279, 326syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (((𝐹𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
328 f1of1 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇1-1𝑆)
32960, 328syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑇1-1𝑆)
330 f1fveq 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝑇1-1𝑆 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
331329, 330sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
332325, 327, 3313bitr3d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
333309, 332sylibd 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑦 = 𝑧))
334305, 333mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) → 𝑦 = 𝑧))
335300, 334sylbid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
336335ralrimivva 3188 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑇𝑧𝑇 ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
337 dff13 7004 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑇1-1𝑆 ↔ (𝐺:𝑇𝑆 ∧ ∀𝑦𝑇𝑧𝑇 ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
338161, 336, 337sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝑇1-1𝑆)
33967ovexi 7179 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ∈ V
340339f1oen 8518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝑇𝑆)
34160, 340syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
342 fzofi 13330 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^𝑁) ∈ Fin
343 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ Fin)
344342, 160, 343mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ∈ Fin
345 f1finf1o 8733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin) → (𝐺:𝑇1-1𝑆𝐺:𝑇1-1-onto𝑆))
346341, 344, 345sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:𝑇1-1𝑆𝐺:𝑇1-1-onto𝑆))
347338, 346mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑇1-1-onto𝑆)
348 f1oco 6630 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑇1-1-onto𝑆) → (𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇)
349266, 347, 348syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇)
350 f1oeq23 6600 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁)) ∧ 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))) → ((𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇 ↔ (𝐹𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁))))
35167, 67, 350mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇 ↔ (𝐹𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁)))
352349, 351sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁)))
353254zcnd 12076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
35467eleq2i 2901 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑇𝑤 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
355 fvco3 6753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝑇𝑆𝑤𝑇) → ((𝐹𝐺)‘𝑤) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
356161, 355sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑇) → ((𝐹𝐺)‘𝑤) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
357356fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐹‘((𝐹𝐺)‘𝑤)) = (𝐹‘(𝐹‘(𝐺𝑤))))
35860adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑇) → 𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
359161ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐺𝑤) ∈ 𝑆)
360 f1ocnvfv2 7025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑇1-1-onto𝑆 ∧ (𝐺𝑤) ∈ 𝑆) → (𝐹‘(𝐹‘(𝐺𝑤))) = (𝐺𝑤))
361358, 359, 360syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐹‘(𝐹‘(𝐺𝑤))) = (𝐺𝑤))
362357, 361eqtr2d 2854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐺𝑤) = (𝐹‘((𝐹𝐺)‘𝑤)))
363354, 362sylan2br 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐺𝑤) = (𝐹‘((𝐹𝐺)‘𝑤)))
364259, 261, 263, 64, 264, 352, 353, 363seqf1o 13399 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))
365364, 256eqeltrd 2910 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
366 moddvds 15606 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))))
3672, 257, 365, 366syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))))
368249, 367mpbid 233 . . . 4 (𝜑𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))))
369256zcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ)
370369mulid2d 10647 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))
371364, 370eqtr4d 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))
372371oveq2d 7161 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
373252zcnd 12076 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ)
374 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
375 subdir 11062 . . . . . . 7 (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
376374, 375mp3an2 1440 . . . . . 6 (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
377373, 369, 376syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
378 zsubcl 12012 . . . . . . . 8 (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
379252, 83, 378sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
380379zcnd 12076 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
381380, 369mulcomd 10650 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
382372, 377, 3813eqtr2d 2859 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) = ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
383368, 382breqtrd 5083 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
384248simprd 496 . . 3 (𝜑 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)
385 coprmdvds 15985 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
386102, 256, 379, 385syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
387383, 384, 386mp2and 695 . 2 (𝜑𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
388 moddvds 15606 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
38983, 388mp3an3 1441 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
3902, 252, 389syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
391387, 390mpbird 258 1 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  ccom 5552  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cen 8494  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021   mod cmo 13225  seqcseq 13357  cexp 13417  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  ϕcphi 16089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-phi 16091
This theorem is referenced by:  eulerth  16108
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