MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth0 27192
Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eupth0 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . . . 4 (𝐴𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2 eupth0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32is0wlk 27095 . . . 4 (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴𝑉) → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
41, 3mpancom 704 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5 f1o0 6211 . . . 4 ∅:∅–1-1-onto→∅
6 eqidd 2652 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
7 hash0 13196 . . . . . . . 8 (#‘∅) = 0
87oveq2i 6701 . . . . . . 7 (0..^(#‘∅)) = (0..^0)
9 fzo0 12531 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
108, 9eqtri 2673 . . . . . 6 (0..^(#‘∅)) = ∅
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → (0..^(#‘∅)) = ∅)
12 dmeq 5356 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
13 dm0 5371 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
1412, 13syl6eq 2701 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
156, 11, 14f1oeq123d 6171 . . . 4 (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
165, 15mpbiri 248 . . 3 (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
174, 16anim12i 589 . 2 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
18 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1918iseupthf1o 27180 . 2 (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
2017, 19sylibr 224 1 ((𝐴𝑉𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Walkscwlks 26548  EulerPathsceupth 27175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-eupth 27176
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator