Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3 26962
 Description: Lemma for eupth2 26965. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g (𝜑𝐺 ∈ UPGraph )
eupth2.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
eupth2.l (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝐹))
eupth2.u (𝜑𝑈𝑉)
eupth2.o (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupth2.v . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupth2.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupth2.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupth2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 eupth2.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
6 eupthiswlk 26938 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7 wlkcl 26381 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eupth2.l . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝐹))
10 nn0p1elfzo 12451 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
114, 8, 9, 10syl3anc 1323 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
12 eupth2.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
13 eupthistrl 26937 . . 3 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
145, 13syl 17 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15 eupth2.h . . . . 5 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
1615fveq2i 6151 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
17 fvex 6158 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) ∈ V
181, 17eqeltri 2694 . . . . 5 𝑉 ∈ V
19 fvex 6158 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
202, 19eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐼 ∈ V
2120resex 5402 . . . . 5 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V
2218, 21opvtxfvi 25789 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉
2316, 22eqtri 2643 . . 3 (Vtx‘𝐻) = 𝑉
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
25 snex 4869 . . . 4 {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩} ∈ V
2618, 25opvtxfvi 25789 . . 3 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = 𝑉
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
28 eupth2.x . . . . 5 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
2928fveq2i 6151 . . . 4 (Vtx‘𝑋) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
3020resex 5402 . . . . 5 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V
3118, 30opvtxfvi 25789 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉
3229, 31eqtri 2643 . . 3 (Vtx‘𝑋) = 𝑉
3332a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
3415fveq2i 6151 . . . 4 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
3518, 21opiedgfvi 25790 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3634, 35eqtri 2643 . . 3 (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3736a1i 11 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
3818, 25opiedgfvi 25790 . . 3 (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
4028fveq2i 6151 . . . 4 (iEdg‘𝑋) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
4118, 30opiedgfvi 25790 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))
4240, 41eqtri 2643 . . 3 (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))
434nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
44 fzval3 12477 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
4544eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4643, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4746imaeq2d 5425 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 “ (0...𝑁)))
4847reseq2d 5356 . . 3 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
4942, 48syl5eq 2667 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
50 eupth2.o . 2 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
51 eupth2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph )
525, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
532upgrwlkedg 26407 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5451, 52, 53syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
55 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
5655fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑁)))
57 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
58 oveq1 6611 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 + 1) = (𝑁 + 1))
5958fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
6057, 59preq12d 4246 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
6156, 60eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
6261rspcv 3291 . . 3 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
6311, 54, 62sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
641, 2, 3, 11, 12, 14, 24, 27, 33, 37, 39, 49, 50, 63eupth2lem3lem7 26960 1 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148  {cpr 4150  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613   ↾ cres 5076   “ cima 5077  Fun wfun 5841  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   ≤ cle 10019  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057   ∥ cdvds 14907  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775   UPGraph cupgr 25871  VtxDegcvtxdg 26248  Walkscwlks 26362  Trailsctrls 26456  EulerPathsceupth 26923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-uspgr 25938  df-vtxdg 26249  df-wlks 26365  df-trls 26458  df-eupth 26924 This theorem is referenced by:  eupth2lems  26964
 Copyright terms: Public domain W3C validator