Theorem eupth2lem3lem3 28008

Description: Lemma for eupth2lem3 28014, formerly part of proof of eupth2lem3 28014: If a loop {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} is added to a trail, the degree of the vertices with odd degree remains odd (regarding the subgraphs induced by the involved trails). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3lem3.e	⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		fveq2 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))
3	2	breq2d 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
4	3	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
5	4	elrab3 3680	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)))
7		eupth2lem3.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
8	7	eleq2d 2898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
9	6, 8	bitr3d 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
10	9	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)})))
11		2z 12013	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℤ)
13		trlsegvdeg.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		trlsegvdeg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
15		trlsegvdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
16		trlsegvdeg.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		trlsegvdeg.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
18		trlsegvdeg.vx	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
19		trlsegvdeg.vy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
20		trlsegvdeg.vz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
21		trlsegvdeg.ix	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
22		trlsegvdeg.iy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23		trlsegvdeg.iz	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
24	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem1 28006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 12084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
26	25	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ)
27	13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	eupth2lem3lem2 28007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
29	28	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ)
30		z2even 15719	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
31	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
32		fvexd 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
33	1	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
34	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
35		eupth2lem3lem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
36	35	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
37		ifptru 1068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
38	37	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))) ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}))
39	36, 38	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)})
40		sneq 4576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = 𝑈 → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
41	40	eqcoms 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) → {(𝑃‘𝑁)} = {𝑈})
42	39, 41	sylan9eq 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {𝑈})
43	42	opeq2d 4809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩)
44	43	sneqd 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
45	34, 44	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {𝑈}⟩})
46	31, 32, 33, 45	1loopgrvd2 27284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 2)
47	30, 46	breqtrrid 5103	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 = (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
48		z0even 15715	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 0
49	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
50		fvexd 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
51	13, 14, 15, 16, 1, 17	trlsegvdeglem1 27998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑉))
52	51	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
53	52	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ 𝑉)
54	22	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
55	39	opeq2d 4809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ = ⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩)
56	55	sneqd 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
57	54, 56	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
58	57	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), {(𝑃‘𝑁)}⟩})
59	1	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
60	59	anim1i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
61		eldifsn 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}) ↔ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)))
62	60, 61	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 𝑈 ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘𝑁)}))
63	49, 50, 53, 58, 62	1loopgrvd0 27285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) = 0)
64	48, 63	breqtrrid 5103	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁)) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
65	47, 64	pm2.61dane 3104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))
66		dvdsadd2b 15655	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
67	12, 26, 29, 65, 66	syl112anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈))))
68	27	nn0cnd 11956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℂ)
69	24	nn0cnd 11956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℂ)
70	68, 69	addcomd 10841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)))
71	70	breq2d 5077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
72	71	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ (((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈)) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
73	67, 72	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
74	73	notbid 320	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
75		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
76	75	eqeq2d 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
77	75	preq2d 4675	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
78	76, 77	ifbieq2d 4491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
79	78	eleq2d 2898	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
80	10, 74, 79	3bitr3d 311	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  if-wif 1057   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ifcif 4466  {csn 4566  {cpr 4568  ⟨cop 4572   class class class wbr 5065   ↾ cres 5556   “ cima 5557  Fun wfun 6348  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  2c2 11691  ℤcz 11980  ...cfz 12891  ..^cfzo 13032  ♯chash 13689   ∥ cdvds 15606  Vtxcvtx 26780  iEdgciedg 26781  VtxDegcvtxdg 27246  Trailsctrls 27471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-xadd 12507  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-dvds 15607  df-edg 26832  df-uhgr 26842  df-ushgr 26843  df-uspgr 26934  df-vtxdg 27247  df-wlks 27380  df-trls 27473

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7  28012