MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lemb 26980
Description: Lemma for eupth2 26982 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). Formerly part of proof for eupth2 26982. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g (𝜑𝐺 ∈ UPGraph )
eupth2.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eupth2lemb (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lemb
StepHypRef Expression
1 2z 11361 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2 dvds0 14932 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ 0
4 eupth2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 fvex 6163 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) ∈ V
64, 5eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
7 eupth2.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . 13 (iEdg‘𝐺) ∈ V
97, 8eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ V
109resex 5407 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V
116, 10pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
12 opvtxfv 25801 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
1311, 12mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
1413eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
1514eleq2d 2684 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)))
1615biimpa 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
17 opiedgfv 25804 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
1811, 17mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
19 fzo0 12441 . . . . . . . . . . . 12 (0..^0) = ∅
2019imaeq2i 5428 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ (0..^0)) = (𝐹 “ ∅)
21 ima0 5445 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ ∅) = ∅
2220, 21eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ (0..^0)) = ∅
2322reseq2i 5358 . . . . . . . . 9 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = (𝐼 ↾ ∅)
24 res0 5365 . . . . . . . . 9 (𝐼 ↾ ∅) = ∅
2523, 24eqtri 2643 . . . . . . . 8 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = ∅
2618, 25syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
28 eqid 2621 . . . . . . 7 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
29 eqid 2621 . . . . . . 7 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
3028, 29vtxdg0e 26273 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∧ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
3116, 27, 30syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
323, 31syl5breqr 4656 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
3332notnotd 138 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
3433ralrimiva 2961 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
35 rabeq0 3936 . 2 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
3634, 35sylibr 224 1 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  c0 3896  cop 4159   class class class wbr 4618  cres 5081  cima 5082  Fun wfun 5846  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  2c2 11022  cz 11329  ..^cfzo 12414  cdvds 14918  Vtxcvtx 25791  iEdgciedg 25792   UPGraph cupgr 25888  VtxDegcvtxdg 26265  EulerPathsceupth 26940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-xadd 11899  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-dvds 14919  df-vtx 25793  df-iedg 25794  df-vtxdg 26266
This theorem is referenced by:  eupth2  26982
  Copyright terms: Public domain W3C validator