MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthp1 26936
Description: Append one path segment to an Eulerian path 𝐹, 𝑃 to become an Eulerian path 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
eupthp1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthiswlk 26932 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (#‘𝐹)
12 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14 eupthp1.u . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 eupthp1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20wlkp1 26441 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
222eupthi 26923 . . . . 5 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
2311eqcomi 2635 . . . . . . . . 9 (#‘𝐹) = 𝑁
2423oveq2i 6616 . . . . . . . 8 (0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25 f1oeq2 6087 . . . . . . . 8 ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2726biimpi 206 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2827adantl 482 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
298, 22, 283syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
30 fvex 6160 . . . . . . 7 (#‘𝐹) ∈ V
3111, 30eqeltri 2700 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
32 f1osng 6136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
3331, 5, 32sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
34 dmsnopg 5568 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3512, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3635f1oeq3d 6093 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
3733, 36mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
38 fzodisjsn 12443 . . . . 5 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
4035ineq2d 3797 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
41 disjsn 4221 . . . . . 6 ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
427, 41sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
4340, 42eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
44 f1oun 6115 . . . 4 (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4529, 37, 39, 43, 44syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4616a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16wlkp1lem2 26434 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))
4847oveq2d 6621 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
49 wlkcl 26375 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5011eleq1i 2695 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
51 elnn0uz 11669 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5250, 51sylbb1 227 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5349, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (ℤ‘0))
548, 9, 533syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
55 fzosplitsn 12514 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5654, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5748, 56eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
58 dmun 5296 . . . . 5 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
5958a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6046, 57, 59f1oeq123d 6092 . . 3 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6145, 60mpbird 247 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6214eqcomi 2635 . . 3 (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
6362iseupthf1o 26922 . 2 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6421, 61, 63sylanbrc 697 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3896  {csn 4153  {cpr 4155  cop 4159   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  Fun wfun 5844  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  0cn0 11237  cuz 11631  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Vtxcvtx 25769  iEdgciedg 25770  Edgcedg 25834  Walkscwlks 26356  EulerPathsceupth 26917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-wlks 26359  df-trls 26452  df-eupth 26918
This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  26937
  Copyright terms: Public domain W3C validator