Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthres 27193
 Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
eupthres.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
eupthres.q 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
Assertion
Ref Expression
eupthres (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres
StepHypRef Expression
1 eupth0.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthres.d . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4 eupthistrl 27189 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5 trliswlk 26650 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7 eupthres.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
8 eupthres.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10 eupthres.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11 eupthres.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
12 eupthres.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
131, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12wlkres 26623 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
143, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
151, 2, 14, 7, 11trlreslem 26652 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
16 eqid 2651 . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
1716iseupthf1o 27180 . . 3 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)))
1810dmeqd 5358 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
1918f1oeq3d 6172 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
2019anbi2d 740 . . 3 (𝜑 → ((𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
2117, 20syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
2213, 15, 21mpbir2and 977 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   “ cima 5146  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Walkscwlks 26548  Trailsctrls 26643  EulerPathsceupth 27175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-substr 13335  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-eupth 27176 This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  27222
 Copyright terms: Public domain W3C validator