Theorem even3prm2 43874

Description: If an even number is the sum of three prime numbers, one of the prime numbers must be 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
even3prm2	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Proof of Theorem even3prm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 864	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
3		df-ne 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑅 = 2)
4		eldifsn 4711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2))
5		oddprmALTV 43842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑅 ∈ Odd )
6		emoo 43859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑅 ∈ Odd ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
7	6	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
9	4, 8	sylbir 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
10	9	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑅 ≠ 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
11	3, 10	syl5bir 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
12	11	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
13	12	3ad2ant3 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
14	13	impcom 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
15	14	3adant3 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
16	15	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
17		3simpa 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
18	17	3ad2ant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
19	18	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
20		eqcom 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁)
21		evenz 43785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		prmz 16011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant3 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
28		prmz 16011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		prmz 16011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
30		zaddcl 12014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
31	28, 29, 30	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
33	32	3adant3 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
35	23, 27, 34	subadd2d 11008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → ((𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁))
36	35	biimprd 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁 → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
37	20, 36	syl5bi 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
38	37	3impia 1112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
39	38	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
40		odd2prm2 43873	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
41	16, 19, 39, 40	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
42	41	orcd 869	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
43	42	ex 415	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
44	2, 43	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
45		df-3or 1083	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
46	44, 45	sylibr 236	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∨ w3o 1081   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3931  {csn 4559  (class class class)co 7148  ℂcc 10527   + caddc 10532   − cmin 10862  2c2 11684  ℤcz 11973  ℙcprime 16007   Even ceven 43779   Odd codd 43780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16008  df-even 43781  df-odd 43782

This theorem is referenced by:  mogoldbblem  43875