Theorem evengpoap3 43958

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evengpoap3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 43867	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 43863	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5062	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
10	9	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
11	6, 10	rspcdv 3614	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12		eluz2 12243	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ↔ (;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁))
13		7p3e10 12167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) = ;10
14		1nn0 11907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		2nn 11704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		2pos 11734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
18	14, 15, 16, 17	declt 12120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
19	13, 18	eqbrtri 5079	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 3) < ;12
20		7re 11724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
21		3re 11711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
22	20, 21	readdcli 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) ∈ ℝ
23		2nn0 11908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	14, 23	deccl 12107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
25	24	nn0rei 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
26		zre 11979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27		ltletr 10726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ ;12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
28	22, 25, 26, 27	mp3an12i 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
29	19, 28	mpani 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (;12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
30	29	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31	30	3adant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
32	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
33	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34	26	3ad2ant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 33, 34	ltaddsubd 11234	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
36	31, 35	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
37	12, 36	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 7 < (𝑁 − 3))
38	37	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40		oveq1 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
41	40	eqeq2d 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
42	41	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43		eluzelcn 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44		3cn 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
45	43, 44	jctir 523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46	45	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
47	46	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48		npcan 10889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
49	48	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
50	47, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
51	39, 42, 50	rspcedvd 3625	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
52	51	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
53	38, 52	embantd 59	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
54	11, 53	syldc 48	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  2c2 11686  3c3 11687  7c7 11691  ℤcz 11975  ;cdc 12092  ℤ_≥cuz 12237   Even ceven 43783   Odd codd 43784   GoldbachOdd cgbo 43906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-even 43785  df-odd 43786

This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  43960