Theorem evl1gsumd 20523

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumd.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gsumd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumd

Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
2		evl1gsumd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		raleq 3408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈))
4	3	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈)))
5		mpteq1 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
6	5	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
7	6	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
8	7	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
9		mpteq1 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
10	9	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
11	8, 10	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
12	4, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
13		raleq 3408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈))
14	13	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)))
15		mpteq1 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22	14, 21	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
23		raleq 3408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈)))
25		mpteq1 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
26	25	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
27	26	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
28	27	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
29		mpteq1 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
30	29	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
31	28, 30	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
32	24, 31	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
33		raleq 3408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈))
34	33	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)))
35		mpteq1 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
36	35	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
37	36	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
38	37	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
39		mpteq1 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
40	39	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
41	38, 40	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
42	34, 41	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
43		mpt0 6493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
44	43	oveq2i 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
46	45	gsum0 17897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
47	44, 46	eqtri 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g‘𝑃)
48	47	fveq2i 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(0g‘𝑃))
49		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
50		crngring 19311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	52, 53, 54, 45	ply1scl0 20461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	51, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
57	56	eqcomd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
58	57	fveq2d 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
59	48, 58	syl5eq 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
60	59	fveq1d 6675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌))
61		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
62		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
63		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
64		ringgrp 19305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	51, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	62, 54	grpidcl 18134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
68		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	61, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68	evl1scad 20501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅)))
70	69	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
71	60, 70	eqtrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
72		mpt0 6493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
73	72	oveq2i 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg ∅)
74	54	gsum0 17897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
75	73, 74	eqtri 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (0g‘𝑅)
76	71, 75	syl6eqr 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
77	76	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
78	61, 52, 62, 63, 49, 68	evl1gsumdlem 20522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
79	78	3expia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
80	79	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
81		impexp 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
82		impexp 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
83	80, 81, 82	3imtr4g 298	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
84	12, 22, 32, 42, 77, 83	findcard2s 8762	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
85	84	expd 418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
86	2, 85	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
87	1, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ∪ cun 3937  ∅c0 4294  {csn 4570   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  Basecbs 16486  0_gc0g 16716   Σ_g cgsu 16717  Grpcgrp 18106  Ringcrg 19300  CRingccrg 19301  algSccascl 20087  Poly₁cpl1 20348  eval₁ce1 20480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-srg 19259  df-ring 19302  df-cring 19303  df-rnghom 19470  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-assa 20088  df-asp 20089  df-ascl 20090  df-psr 20139  df-mvr 20140  df-mpl 20141  df-opsr 20143  df-evls 20289  df-evl 20290  df-psr1 20351  df-ply1 20353  df-evl1 20482

This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  20525