MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1rhmlem 20412
Description: Lemma for evl1rhm 20423 and evls1rhm 20413 (formerly part of the proof of evl1rhm 20423): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhmlem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
evl1rhmlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Assertion
Ref Expression
evls1rhmlem (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem
StepHypRef Expression
1 evl1rhmlem.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
2 ovex 7178 . . . . 5 (𝐵m 1o) ∈ V
3 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵m 1o)) = (𝑅s (𝐵m 1o))
4 evl1rhmlem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4pwsbas 16748 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵m 1o) ∈ V) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
62, 5mpan2 687 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
76mpteq1d 5146 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
81, 7syl5eq 2865 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
9 evl1rhmlem.t . . 3 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
10 eqid 2818 . . 3 (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o)))
11 crngring 19237 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
124fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
142a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵m 1o) ∈ V)
15 df1o2 8105 . . . . 5 1o = {∅}
16 0ex 5202 . . . . 5 ∅ ∈ V
17 eqid 2818 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
1815, 12, 16, 17mapsnf1o3 8447 . . . 4 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o)
19 f1of 6608 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
219, 3, 10, 11, 13, 14, 20pwsco1rhm 19419 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
228, 21eqeltrd 2910 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  {csn 4557  cmpt 5137   × cxp 5546  ccom 5552  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  1oc1o 8084  m cmap 8395  Basecbs 16471  s cpws 16708  CRingccrg 19227   RingHom crh 19393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-ghm 18294  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-rnghom 19396
This theorem is referenced by:  evls1rhm  20413  evl1rhm  20423
  Copyright terms: Public domain W3C validator