MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvar 19437
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvar.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvar.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsvar.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvar.i (𝜑𝐼𝑊)
evlsvar.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvar.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlsvar (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
2 evlsvar.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsvar.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsvar.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2626 . . . . . 6 (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsvar.v . . . . . 6 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
7 evlsvar.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
9 evlsvar.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2626 . . . . . 6 (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
11 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥}))
12 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 19434 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))))
1514simprrd 796 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))
1615fveq1d 6152 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋))
17 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
187subrgring 18699 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
193, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
205, 6, 17, 1, 19mvrf2 19406 . . . 4 (𝜑𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
2120ffnd 6005 . . 3 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
22 evlsvar.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
23 fvco2 6231 . . 3 ((𝑉 Fn 𝐼𝑋𝐼) → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉𝑋)))
2421, 22, 23syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉𝑋)))
25 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑋))
2625mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
27 ovex 6633 . . . . 5 (𝐵𝑚 𝐼) ∈ V
2827mptex 6441 . . . 4 (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)) ∈ V
2926, 12, 28fvmpt 6240 . . 3 (𝑋𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3022, 29syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3116, 24, 303eqtr3d 2668 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {csn 4153  cmpt 4678   × cxp 5077  ccom 5083   Fn wfn 5845  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Basecbs 15776  s cress 15777  s cpws 16023  Ringcrg 18463  CRingccrg 18464   RingHom crh 18628  SubRingcsubrg 18692  algSccascl 19225   mVar cmvr 19266   mPoly cmpl 19267   evalSub ces 19418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-srg 18422  df-ring 18465  df-cring 18466  df-rnghom 18631  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-assa 19226  df-asp 19227  df-ascl 19228  df-psr 19270  df-mvr 19271  df-mpl 19272  df-evls 19420
This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  19442  evlvar  19443  mpfproj  19445  mpfind  19450  evl1var  19614
  Copyright terms: Public domain W3C validator