MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evpmss 19980
Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
evpmss (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Proof of Theorem evpmss
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
21cnveqd 5330 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
32imaeq1d 5500 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
4 df-evpm 17958 . . . 4 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
5 fvex 6239 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
65cnvex 7155 . . . . 5 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
76imaex 7146 . . . 4 ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6321 . . 3 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
9 cnvimass 5520 . . . 4 ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ dom (pmSgn‘𝐷)
10 evpmss.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
11 eqid 2651 . . . . . . 7 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
12 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)) = (𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))
13 eqid 2651 . . . . . . 7 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1410, 11, 12, 13psgnghm 19974 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))) = (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)))
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1715, 16ghmf 17711 . . . . . 6 ((pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18 fdm 6089 . . . . . 6 ((pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))))
1914, 17, 183syl 18 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))))
20 evpmss.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑆)
2112, 20ressbasss 15979 . . . . 5 (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))) ⊆ 𝑃
2219, 21syl6eqss 3688 . . . 4 (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) ⊆ 𝑃)
239, 22syl5ss 3647 . . 3 (𝐷 ∈ V → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ 𝑃)
248, 23eqsstrd 3672 . 2 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
25 fvprc 6223 . . 3 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ∅)
26 0ss 4005 . . 3 ∅ ⊆ 𝑃
2725, 26syl6eqss 3688 . 2 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
2824, 27pm2.61i 176 1 (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  -cneg 10305  Basecbs 15904  s cress 15905   GrpHom cghm 17704  SymGrpcsymg 17843  pmSgncpsgn 17955  pmEvencevpm 17956  mulGrpcmgp 18535  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-reverse 13337  df-s2 13639  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-oppg 17822  df-symg 17844  df-pmtr 17908  df-psgn 17957  df-evpm 17958  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  19985  evpmodpmf1o  19990  mdetralt  20462
  Copyright terms: Public domain W3C validator