MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evth2 22494
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
evth2 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 bndth.2 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 bndth.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 cmptop 20946 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
61toptopon 20486 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75, 6sylib 206 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 bndth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9 uniretop 22304 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
102unieqi 4371 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
119, 10eqtr4i 2630 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐾
121, 11cnf 20798 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1413feqmptd 6140 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝑧)))
1514, 8eqeltrrd 2684 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 retopon 22305 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
172, 16eqeltri 2679 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnfldtopon 22324 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22 0cnd 9885 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2318, 21, 22cnmptc 21213 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2419tgioo2 22342 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
252, 24eqtri 2627 . . . . . . . 8 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26 ax-resscn 9845 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2821cnmptid 21212 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2925, 21, 27, 28cnmpt1res 21227 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3019subcn 22404 . . . . . . . 8 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3218, 23, 29, 31cnmpt12f 21217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33 df-neg 10116 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 = (0 − 𝑦)
34 renegcl 10191 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3533, 34syl5eqelr 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
3635adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦))
3836, 37fmptd 6273 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
39 frn 5948 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
41 cnrest2 20838 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4221, 40, 27, 41syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4332, 42mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4425oveq2i 6534 . . . . 5 (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4543, 44syl6eleqr 2694 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
46 negeq 10120 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → -𝑦 = -(𝐹𝑧))
4733, 46syl5eqr 2653 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹𝑧))
487, 15, 18, 45, 47cnmpt11 21214 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
49 evth.5 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
501, 2, 3, 48, 49evth 22493 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥))
51 fveq2 6084 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
5251negeqd 10122 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹𝑧) = -(𝐹𝑦))
53 eqid 2605 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))
54 negex 10126 . . . . . . . 8 -(𝐹𝑦) ∈ V
5552, 53, 54fvmpt 6172 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
5655adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
57 fveq2 6084 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
5857negeqd 10122 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹𝑧) = -(𝐹𝑥))
59 negex 10126 . . . . . . . 8 -(𝐹𝑥) ∈ V
6058, 53, 59fvmpt 6172 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
6160ad2antlr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
6256, 61breq12d 4586 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹𝑦) ≤ -(𝐹𝑥)))
6313ffvelrnda 6248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6463adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6513ffvelrnda 6248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6665adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6764, 66lenegd 10451 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ -(𝐹𝑦) ≤ -(𝐹𝑥)))
6862, 67bitr4d 269 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
6968ralbidva 2963 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7069rexbidva 3026 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7150, 70mpbid 220 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  wss 3535  c0 3869   cuni 4362   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ran crn 5025  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  cle 9927  cmin 10113  -cneg 10114  (,)cioo 11998  t crest 15846  TopOpenctopn 15847  topGenctg 15863  fldccnfld 19509  Topctop 20455  TopOnctopon 20456   Cn ccn 20776  Compccmp 20937   ×t ctx 21111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22497  evthicc  22948  ftalem3  24514  evth2f  37996  stoweidlem28  38721
  Copyright terms: Public domain W3C validator