Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evthiccabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthiccabs 39164
Description: Extreme Value Theorem on y closed interval, for the absolute value of y continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evthiccabs.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthiccabs.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthiccabs.aleb (𝜑𝐴𝐵)
evthiccabs.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthiccabs (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthiccabs
StepHypRef Expression
1 evthiccabs.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 evthiccabs.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 evthiccabs.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
4 ax-resscn 9953 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5 ssid 3609 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
6 cncfss 22642 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
74, 5, 6mp2an 707 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
8 evthiccabs.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
97, 8sseldi 3586 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10 abscncf 22644 . . . . . . 7 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
129, 11cncfco 22650 . . . . 5 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
131, 2, 3, 12evthicc 23168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤)))
1413simpld 475 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
15 cncff 22636 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
16 ffun 6015 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → Fun 𝐹)
178, 15, 163syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
19 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 fdm 6018 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
218, 15, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
2221eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
2419, 23eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
25 fvco 6241 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2618, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2726adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2817adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
29 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
3129, 30eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32 fvco 6241 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
3328, 31, 32syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
3527, 34breq12d 4636 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
3635ralbidva 2981 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
3736rexbidva 3044 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
3814, 37mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
3913simprd 479 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤))
4017adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
41 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4222adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
4341, 42eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
44 fvco 6241 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4540, 43, 44syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4645adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4717adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
48 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4922adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
5048, 49eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
51 fvco 6241 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹𝑤)))
5247, 50, 51syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹𝑤)))
5352adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹𝑤)))
5446, 53breq12d 4636 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑤))))
5554ralbidva 2981 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑤))))
5655rexbidva 3044 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑤))))
5739, 56mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑤)))
5838, 57jca 554 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  wss 3560   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  ccom 5088  Fun wfun 5851  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  cle 10035  [,]cicc 12136  abscabs 13924  cnccncf 22619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621
This theorem is referenced by:  fourierdlem77  39737  fourierdlem83  39743
  Copyright terms: Public domain W3C validator