Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ewlkinedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ewlkinedg 26481
 Description: The intersection (common vertices) of two adjacent edges in an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
ewlksfval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ewlkinedg ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾)))))

Proof of Theorem ewlkinedg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ewlksfval.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21ewlkprop 26480 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
3 oveq1 6642 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 − 1) = (𝐾 − 1))
43fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝐾 − 1)))
54fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))))
6 fveq2 6178 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐾))
76fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝐾)))
85, 7ineq12d 3807 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾))))
98fveq2d 6182 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) = (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾)))))
109breq2d 4656 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾))))))
1110rspccv 3301 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) → (𝐾 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾))))))
12113ad2ant3 1082 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))))) → (𝐾 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾))))))
132, 12syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐾 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾))))))
1413imp 445 1 ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (#‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝐾)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  Vcvv 3195   ∩ cin 3566   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1c1 9922   ≤ cle 10060   − cmin 10251  ℕ0*cxnn0 11348  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Word cword 13274  iEdgciedg 25856   EdgWalks cewlks 26472 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-ewlks 26475 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator