MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ceil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ceil 27153
Description: Example for df-ceil 12531. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-ceil ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil
StepHypRef Expression
1 ex-fl 27152 . 2 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2 3re 11039 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11226 . . . . . 6 (3 / 2) ∈ ℝ
43renegcli 10287 . . . . 5 -(3 / 2) ∈ ℝ
5 ceilval 12576 . . . . 5 (-(3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
73recni 9997 . . . . . . . . . 10 (3 / 2) ∈ ℂ
87negnegi 10296 . . . . . . . . 9 --(3 / 2) = (3 / 2)
98eqcomi 2635 . . . . . . . 8 (3 / 2) = --(3 / 2)
109fveq2i 6153 . . . . . . 7 (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
1110eqeq1i 2631 . . . . . 6 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1211biimpi 206 . . . . 5 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1312negeqd 10220 . . . 4 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
146, 13syl5eq 2672 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
15 ceilval 12576 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
163, 15ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
17 negeq 10218 . . . . 5 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
18 2cn 11036 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
1918negnegi 10296 . . . . 5 --2 = 2
2017, 19syl6eq 2676 . . . 4 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
2116, 20syl5eq 2672 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
2214, 21anim12ci 590 . 2 (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
231, 22ax-mp 5 1 ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  1c1 9882  -cneg 10212   / cdiv 10629  2c2 11015  3c3 11016  cfl 12528  cceil 12529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fl 12530  df-ceil 12531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator