Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-dif 27410
 Description: Example for df-dif 3610. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 4213 . . 3 {1, 3} = ({1} ∪ {3})
21difeq1i 3757 . 2 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3 difundir 3913 . 2 (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4 snsspr1 4377 . . . . 5 {1} ⊆ {1, 8}
5 ssdif0 3975 . . . . 5 ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
64, 5mpbi 220 . . . 4 ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7 incom 3838 . . . . . . 7 ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
9 1lt3 11234 . . . . . . . . . 10 1 < 3
108, 9gtneii 10187 . . . . . . . . 9 3 ≠ 1
11 3re 11132 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
12 3lt8 11257 . . . . . . . . . 10 3 < 8
1311, 12ltneii 10188 . . . . . . . . 9 3 ≠ 8
1410, 13nelpri 4234 . . . . . . . 8 ¬ 3 ∈ {1, 8}
15 disjsn 4278 . . . . . . . 8 (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
1614, 15mpbir 221 . . . . . . 7 ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
177, 16eqtri 2673 . . . . . 6 ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18 disj3 4054 . . . . . 6 (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
1917, 18mpbi 220 . . . . 5 {3} = ({3} ∖ {1, 8})
2019eqcomi 2660 . . . 4 ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
216, 20uneq12i 3798 . . 3 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22 uncom 3790 . . 3 (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23 un0 4000 . . 3 ({3} ∪ ∅) = {3}
2421, 22, 233eqtri 2677 . 2 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
252, 3, 243eqtri 2677 1 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  1c1 9975  3c3 11109  8c8 11114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator