MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-exp 27161
Description: Example for df-exp 12801. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 11026 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 6614 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 11042 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 12920 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 sq4e2t8 12902 . . . . . . . . 9 (4↑2) = (2 · 8)
7 2cn 11035 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
8 8cn 11050 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
97, 8mulcomi 9990 . . . . . . . . . 10 (2 · 8) = (8 · 2)
10 8t2e16 11598 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
119, 10eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
126, 11eqtri 2643 . . . . . . . 8 (4↑2) = 16
137, 3mulcomi 9990 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = (4 · 2)
14 4t2e8 11125 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
1513, 14eqtri 2643 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
1612, 15oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
17 1nn0 11252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
18 6nn0 11257 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
19 8nn0 11259 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ0
20 eqid 2621 . . . . . . . 8 16 = 16
21 1p1e2 11078 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
22 4nn0 11255 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
23 6cn 11046 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
2423, 8addcomi 10171 . . . . . . . . 9 (6 + 8) = (8 + 6)
25 8p6e14 11560 . . . . . . . . 9 (8 + 6) = 14
2624, 25eqtri 2643 . . . . . . . 8 (6 + 8) = 14
2717, 18, 19, 20, 21, 22, 26decaddci 11524 . . . . . . 7 (16 + 8) = 24
2816, 27eqtri 2643 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
2928oveq1i 6614 . . . . 5 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = (24 + 1)
30 2nn0 11253 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
31 eqid 2621 . . . . . 6 24 = 24
32 4p1e5 11098 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
3330, 22, 17, 31, 32decaddi 11523 . . . . 5 (24 + 1) = 25
3429, 33eqtri 2643 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
355, 34eqtri 2643 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
362, 35eqtri 2643 . 2 (5↑2) = 25
37 3cn 11039 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
38 negcl 10225 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → -3 ∈ ℂ)
3937, 38ax-mp 5 . . . . 5 -3 ∈ ℂ
4039, 30pm3.2i 471 . . . 4 (-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0)
41 expneg 12808 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
4240, 41ax-mp 5 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
43 sqneg 12863 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
4437, 43ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
45 sq3 12901 . . . . 5 (3↑2) = 9
4644, 45eqtri 2643 . . . 4 (-3↑2) = 9
4746oveq2i 6615 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4842, 47eqtri 2643 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4936, 48pm3.2i 471 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  8c8 11020  9c9 11021  0cn0 11236  cdc 11437  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  ex-sqrt  27165
  Copyright terms: Public domain W3C validator