Theorem ex-exp 28231

Description: Example for df-exp 13433. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11706	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7168	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11725	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13583	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 11917	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 11919	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 11786	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 10652	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2846	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 11808	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 10652	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7170	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 11916	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 11921	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 11923	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 11765	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 11731	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12185	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 10834	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12162	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12132	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2846	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2846	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 11721	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 10956	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13440	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 690	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 13485	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 13564	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7169	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2846	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 473	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  -cneg 10873   / cdiv 11299  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  8c8 11701  9c9 11702  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28235