Theorem ex-fac 27438

Description: Example for df-fac 13101. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11120	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6232	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 11349	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 13105	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2673	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 13108	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 11192	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 6702	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 11350	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 11347	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2651	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 11345	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 11346	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 11138	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 11129	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 11672	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 10085	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 10262	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 11617	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 11136	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 11675	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 10085	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 11625	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2673	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2673	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  2c2 11108  4c4 11110  5c5 11111  ℕ₀cn0 11330  ;cdc 11531  !cfa 13100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-seq 12842  df-fac 13101

This theorem is referenced by: (None)