Theorem ex-fac 27156

Description: Example for df-fac 12998. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11027	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6153	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 11256	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 13002	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2648	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 13005	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 11099	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 6617	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 11257	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 11254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2626	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 11252	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 11253	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 11045	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 11036	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 11578	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 9992	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 10169	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 11523	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 11043	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 11581	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 9992	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 11531	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2648	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2648	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  2c2 11015  4c4 11017  5c5 11018  ℕ₀cn0 11237  ;cdc 11437  !cfa 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12739  df-fac 12998

This theorem is referenced by: (None)